Một quân vua được đặt trên một ô giữa bàn cờ vua. Mỗi bước di chuyển, quân vua được

Câu hỏi số 768047:

Vận dụng cao

Một quân vua được đặt trên một ô giữa bàn cờ vua. Mỗi bước di chuyển, quân vua được chuyển sang một ô khác chung cạnh hoặc chung đỉnh với ô đang đứng (xem hình minh họa). Bạn An di chuyển quân vua ngẫu nhiên \(3\) bước. Tính xác suất để sau \(3\) bước đi quân vua trở về ô xuất phát.

A. \(\dfrac{1}{{20}}\)

B. \(\dfrac{5}{{32}}\)

C. \(\dfrac{4}{{25}}\)

D. \(\dfrac{3}{{64}}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:768047

Phương pháp giải

Xác suất cổ điển

Giải chi tiết

Mỗi bước đi quân vua có thể đi đến \(8\) ô xung quanh, từ đó suy ra số phần tử của không gian mẫu là \(n\left( \Omega \right) = {8^3}\).

Cách 1.

Gắn hệ trục \(Oxy\) vào bàn cờ vua sao cho vị trí ban đầu của quân vua là gốc tọa độ, mỗi ô trên bàn ứng với một điểm có tọa độ \(\left( {x;y} \right)\). Mỗi bước di chuyển của quân vua từ điểm \(\left( {x;y} \right)\) đến điểm có tọa độ \(\left( {x + {x_0};y + {y_0}} \right)\) trong đó \({x_0};{y_0} \in \left\{ { - 1;0;1} \right\};{x_0}^2 + {y_0}^2 \ne 0\). Ví dụ nếu \({x_0} = 1;{y_0} = 0\) thì quân vua di chuyển đến ô bên phải, \({x_0} = - 1;{y_0} = - 1\)thì di chuyển xuống ô đường chéo.

Giả sử tọa độ ban đầu là \(\left( {0;0} \right)\), thế thì sau \(3\) bước đi thì tọa độ của quân vua là \(\left( {{x_1} + {x_2} + {x_3};{y_1} + {y_2} + {y_3}} \right);{x_1},{x_2},{x_3},{y_1},{y_2},{y_3} \in \left\{ { - 1;0;1} \right\}\). Để về vị trí ban đầu thì \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} + {x_3} = 0\\{y_1} + {y_2} + {y_3} = 0\end{array} \right.\) . Suy ra các bộ \(\left\{ {{x_1};{x_2};{x_3}} \right\}\) và \(\left\{ {{y_1};{y_2};{y_3}} \right\}\) là một hoán vị của \(\left\{ { - 1;0;1} \right\}\) .

+) \(\left\{ {{x_1};{x_2};{x_3}} \right\}\) có \(6\) cách chọn, với mỗi cách chọn \(\left\{ {{x_1};{x_2};{x_3}} \right\}\) có \(4\) cách chọn \(\left\{ {{y_1};{y_2};{y_3}} \right\}\) vì \(\left( {{x_i};{y_i}} \right),i = \overline {1;3} \) không đồng thời bằng \(0\).

Do đó số kết quả thuận lợi cho biến cố bằng \(24\) và xác suất cần tìm là \(p = \dfrac{{24}}{{{8^3}}} = \dfrac{3}{{64}}\) .

Cách 2.

Nhận xét để quân vua trở về vị trí xuất phát sau \(3\) bước thì sau bước II quân vua phải ở một trong \(8\)ô xung quanh ô ban đầu.

Trường hợp 1. Sau bước I quân vua ở \(1\) trong \(4\) ô chung cạnh với ô ban đầu.

Từ đây quân vua có \(4\) cách đi cho bước II (đi ngang hoặc đi chéo).

Ở bước III, quân vua chỉ có \(1\) cách đi về vị trí xuất phát.

Vậy số cách đi ở TH1: \(4 \times 4 \times 1 = 16\) cách.

Trường hợp 2. Sau bước I quân vua ở \(1\) trong \(4\) ô chung đỉnh với ô ban đầu.

Từ đây quân vua chỉ có \(2\) cách đi cho bước II (đi ngang hoặc đi dọc).

Ở bước III, quân vua chỉ có \(1\) cách đi về vị trí xuất phát.

Vậy số cách đi ở TH2: \(4 \times 2 \times 1 = 8\) cách.

Xác suất cần tìm: \(p = \dfrac{{16 + 8}}{{{8^3}}} = \dfrac{3}{{64}}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.