Cho \(n = {20^{25}}.\) Có bao nhiêu ước số của \({n^2}\) nhỏ hơn \(n\) nhưng không

Câu hỏi số 768201:

Thông hiểu

Cho \(n = {20^{25}}.\) Có bao nhiêu ước số của \({n^2}\) nhỏ hơn \(n\) nhưng không là ước số của \(n?\)

Đáp án:

Đáp án đúng là: 1250

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:768201

Phương pháp giải

Tư duy logic.

Giải chi tiết

Ta xét trường hợp tổng quát: \(n = {a^r} \cdot {b^s},\) với \(a,{\rm{ }}b\) là các số nguyên tố.

Số ước của \({n^2} = {a^{2r}} \cdot {b^{2r}}:{\rm{ }}\left( {2r + 1} \right) \cdot \left( {2s + 1} \right).\)

Với mỗi ước của \({n^2}\) nhỏ hơn \(n,\) ta thấy tồn tại một ước của \({n^2}\) lớn hơn \(n.\)

Như vậy, số ước của \({n^2}\) nhỏ hơn \(n\) là \(\dfrac{{\left( {2r + 1} \right) \cdot \left( {2s + 1} \right) - 1}}{2} = 2 \cdot r \cdot s + r + s.\)

Số ước của \(n = {a^r} \cdot {b^r}:{\rm{ }}\left( {r + 1} \right) \cdot \left( {s + 1} \right).\)

Như vậy, số ước của \(n\) nhỏ hơn \(n\) là \(\left( {r + 1} \right) \cdot \left( {s + 1} \right) - 1 = r \cdot s + r + s.\)

Vì mỗi ước của \(n\) cũng là ước của \({n^2}\) nên số ước của \({n^2}\) nhỏ hơn \(n\) nhưng không là ước của \(n\) là

\(\left( {2 \cdot r \cdot s + r + s} \right) - \left( {r \cdot s + r + s} \right) = r \cdot s.\)

Áp dụng vào trường hợp này: \(n = {20^{25}} = {2^{50}} \cdot {5^{25}} \Rightarrow r \cdot s = 1250.\)

Đáp án cần điền là: 1250

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.