Chứng minh rằng với mọi số thực khác không \(a,{\mkern 1mu} b\) ta có: \(\dfrac{{{a^2}}}{{{b^2}}} +

Câu hỏi số 769165:

Vận dụng

Chứng minh rằng với mọi số thực khác không \(a,{\mkern 1mu} b\) ta có: \(\dfrac{{{a^2}}}{{{b^2}}} + \dfrac{{{b^2}}}{{{a^2}}} \ge \dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:769165

Phương pháp giải

Để ý ta thấy \(\dfrac{{{a^2}}}{{{b^2}}} + \dfrac{{{b^2}}}{{{a^2}}} = {\left( {\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a}} \right)^2} - 2\), do đó ta có thể biến đổi bất đẳng thức thành \({\left( {\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a}} \right)^2} - 2 - \left( {\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a}} \right) \ge 0\).

Giải chi tiết

Bất đẳng thức đã cho tương đương với:

\(\dfrac{{{a^2}}}{{{b^2}}} + \dfrac{{{b^2}}}{{{a^2}}} \ge \dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a}} \right)^2} - 2 - \left( {\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a}} \right) \ge 0 \Leftrightarrow \left( {\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} + 1} \right)\left( {\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} - 2} \right) \ge 0\)

Biến đổi tương đương tiếp ta được bất đả̉ng thức: \(\dfrac{{\left( {{a^2} + {b^2} + ab} \right){{(a - b)}^2}}}{{{a^2}{b^2}}} \ge 0\).

Mà \({a^2} + {b^2} + ab = \dfrac{{{{(a + b)}^2} + \left( {{a^2} + {b^2}} \right)}}{2} \ge 0\).

Do đó bất đẳng thức được chứng minh.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link