Chứng minh rằng với mọi số thực khác không \(a,{\mkern 1mu} b\) ta có: \(\dfrac{{{a^2}}}{{{b^2}}} +

Câu hỏi số 769165:

Vận dụng

Chứng minh rằng với mọi số thực khác không \(a,{\mkern 1mu} b\) ta có: \(\dfrac{{{a^2}}}{{{b^2}}} + \dfrac{{{b^2}}}{{{a^2}}} \ge \dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:769165

Phương pháp giải

Để ý ta thấy \(\dfrac{{{a^2}}}{{{b^2}}} + \dfrac{{{b^2}}}{{{a^2}}} = {\left( {\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a}} \right)^2} - 2\), do đó ta có thể biến đổi bất đẳng thức thành \({\left( {\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a}} \right)^2} - 2 - \left( {\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a}} \right) \ge 0\).

Giải chi tiết

Bất đẳng thức đã cho tương đương với:

\(\dfrac{{{a^2}}}{{{b^2}}} + \dfrac{{{b^2}}}{{{a^2}}} \ge \dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a}} \right)^2} - 2 - \left( {\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a}} \right) \ge 0 \Leftrightarrow \left( {\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} + 1} \right)\left( {\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} - 2} \right) \ge 0\)

Biến đổi tương đương tiếp ta được bất đả̉ng thức: \(\dfrac{{\left( {{a^2} + {b^2} + ab} \right){{(a - b)}^2}}}{{{a^2}{b^2}}} \ge 0\).

Mà \({a^2} + {b^2} + ab = \dfrac{{{{(a + b)}^2} + \left( {{a^2} + {b^2}} \right)}}{2} \ge 0\).

Do đó bất đẳng thức được chứng minh.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link