Cho \(a,{\mkern 1mu} b,{\mkern 1mu} c\) là các số thực thỏa mãn điều kiện \(a,b,c \ge 1\). Chứng minh

Câu hỏi số 769166:

Vận dụng

Cho \(a,{\mkern 1mu} b,{\mkern 1mu} c\) là các số thực thỏa mãn điều kiện \(a,b,c \ge 1\). Chứng minh rằng:

a) \(\dfrac{1}{{1 + {a^2}}} + \dfrac{1}{{1 + {b^2}}} \ge \dfrac{2}{{1 + ab}}\).

b) \(\dfrac{1}{{1 + {a^3}}} + \dfrac{1}{{1 + {b^3}}} + \dfrac{1}{{1 + {c^3}}} \ge \dfrac{3}{{1 + abc}}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:769166

Phương pháp giải

Xét hiệu và phân tích làm xuất hiện các bình phương. Chú ý đến giả thiết \(a,b \ge 1 \Rightarrow ab - 1 \ge 0\).

Giải chi tiết

a) Xét hiệu hai vế của bất đẳng thức:

\(\dfrac{1}{{1 + {a^2}}} + \dfrac{1}{{1 + {b^2}}} - \dfrac{2}{{1 + ab}} = \dfrac{1}{{1 + {a^2}}} - \dfrac{1}{{1 + ab}} + \dfrac{1}{{1 + {b^2}}} - \dfrac{1}{{1 + ab}} = \dfrac{{{{(a - b)}^2}(ab - 1)}}{{\left( {{a^2} + 1} \right)\left( {{b^2} + 1} \right)(ab + 1)}} \ge 0\)

Suy ra \(\dfrac{1}{{1 + {a^2}}} + \dfrac{1}{{1 + {b^2}}} \ge \dfrac{2}{{1 + ab}}\).

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a = b \).

b) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: \(\dfrac{1}{{1 + {a^3}}} + \dfrac{1}{{1 + {b^3}}} + \dfrac{1}{{1 + {c^3}}} \ge \dfrac{3}{{1 + abc}}\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{1}{{1 + {a^3}}} + \dfrac{1}{{1 + {b^3}}} + \dfrac{1}{{1 + {c^3}}} + \dfrac{1}{{1 + abc}} \ge \dfrac{4}{{1 + abc}}\)

Áp dụng bất đẳng thức ở câu a ta được:

\(\dfrac{1}{{1 + {a^3}}} + \dfrac{1}{{1 + {b^3}}} + \dfrac{1}{{1 + {c^3}}} + \dfrac{1}{{1 + abc}} \ge \dfrac{2}{{1 + \sqrt {{a^3}{b^3}} }} + \dfrac{2}{{1 + \sqrt {ab{c^4}} }} \ge \dfrac{4}{{1 + \sqrt {{a^3}{b^3}\sqrt {ab{c^4}} } }} = \dfrac{4}{{1 + abc}}\)

Suy ra \(\dfrac{1}{{1 + {a^3}}} + \dfrac{1}{{1 + {b^3}}} + \dfrac{1}{{1 + {c^3}}} \ge \dfrac{3}{{1 + abc}}\).

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = c \).

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link