Cho \(a,{\mkern 1mu} b,{\mkern 1mu} c\) là các số thực thỏa mãn điều kiện \(a,b,c \ge 1\). Chứng minh

Câu hỏi số 769166:

Vận dụng

Cho \(a,{\mkern 1mu} b,{\mkern 1mu} c\) là các số thực thỏa mãn điều kiện \(a,b,c \ge 1\). Chứng minh rằng:

a) \(\dfrac{1}{{1 + {a^2}}} + \dfrac{1}{{1 + {b^2}}} \ge \dfrac{2}{{1 + ab}}\).

b) \(\dfrac{1}{{1 + {a^3}}} + \dfrac{1}{{1 + {b^3}}} + \dfrac{1}{{1 + {c^3}}} \ge \dfrac{3}{{1 + abc}}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:769166

Phương pháp giải

Xét hiệu và phân tích làm xuất hiện các bình phương. Chú ý đến giả thiết \(a,b \ge 1 \Rightarrow ab - 1 \ge 0\).

Giải chi tiết

a) Xét hiệu hai vế của bất đẳng thức:

\(\dfrac{1}{{1 + {a^2}}} + \dfrac{1}{{1 + {b^2}}} - \dfrac{2}{{1 + ab}} = \dfrac{1}{{1 + {a^2}}} - \dfrac{1}{{1 + ab}} + \dfrac{1}{{1 + {b^2}}} - \dfrac{1}{{1 + ab}} = \dfrac{{{{(a - b)}^2}(ab - 1)}}{{\left( {{a^2} + 1} \right)\left( {{b^2} + 1} \right)(ab + 1)}} \ge 0\)

Suy ra \(\dfrac{1}{{1 + {a^2}}} + \dfrac{1}{{1 + {b^2}}} \ge \dfrac{2}{{1 + ab}}\).

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a = b \).

b) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: \(\dfrac{1}{{1 + {a^3}}} + \dfrac{1}{{1 + {b^3}}} + \dfrac{1}{{1 + {c^3}}} \ge \dfrac{3}{{1 + abc}}\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{1}{{1 + {a^3}}} + \dfrac{1}{{1 + {b^3}}} + \dfrac{1}{{1 + {c^3}}} + \dfrac{1}{{1 + abc}} \ge \dfrac{4}{{1 + abc}}\)

Áp dụng bất đẳng thức ở câu a ta được:

\(\dfrac{1}{{1 + {a^3}}} + \dfrac{1}{{1 + {b^3}}} + \dfrac{1}{{1 + {c^3}}} + \dfrac{1}{{1 + abc}} \ge \dfrac{2}{{1 + \sqrt {{a^3}{b^3}} }} + \dfrac{2}{{1 + \sqrt {ab{c^4}} }} \ge \dfrac{4}{{1 + \sqrt {{a^3}{b^3}\sqrt {ab{c^4}} } }} = \dfrac{4}{{1 + abc}}\)

Suy ra \(\dfrac{1}{{1 + {a^3}}} + \dfrac{1}{{1 + {b^3}}} + \dfrac{1}{{1 + {c^3}}} \ge \dfrac{3}{{1 + abc}}\).

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = c \).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link