Cho \(a,{\mkern 1mu} b,{\mkern 1mu} c\) là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: \(\dfrac{{{a^3} +

Câu hỏi số 769167:

Vận dụng

Cho \(a,{\mkern 1mu} b,{\mkern 1mu} c\) là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:

\(\dfrac{{{a^3} + {b^3}}}{{ab}} + \dfrac{{{b^3} + {c^3}}}{{bc}} + \dfrac{{{c^3} + {a^3}}}{{ca}}\) \( \ge 2(a + b + c)\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:769167

Phương pháp giải

Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức \({x^3} + {y^3} \ge xy(x + y)\) với \(x,{\mkern 1mu} y\) là các số dương.

Áp dụng bất đẳng thức trên ta chứng minh được bài toán.

Giải chi tiết

Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức \({x^3} + {y^3} \ge xy(x + y)\) với \(x,{\mkern 1mu} y\) là các số dương.

Thật vậy: \({x^3} + {y^3} \ge xy(x + y) \Leftrightarrow (x + y)\left( {{x^2} + {y^2} - xy} \right) \ge xy(x + y) \Leftrightarrow {(x - y)^2} \ge 0\)

Áp dụng bất đẳng thức trên ta được:

\(\dfrac{{{a^3} + {b^3}}}{{ab}} + \dfrac{{{b^3} + {c^3}}}{{bc}} + \dfrac{{{c^3} + {a^3}}}{{ca}} \ge \dfrac{{ab(a + b)}}{{ab}} + \dfrac{{bc(b + c)}}{{bc}} + \dfrac{{ca(c + a)}}{{ca}} = 2(a + b + c)\)

Suy ra \(\dfrac{{{a^3} + {b^3}}}{{ab}} + \dfrac{{{b^3} + {c^3}}}{{bc}} + \dfrac{{{c^3} + {a^3}}}{{ca}} \ge 2(a + b + c)\).

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = c\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link