Cho \(a,{\mkern 1mu} b,{\mkern 1mu} c\) là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: \(\dfrac{{{a^3} +

Câu hỏi số 769167:

Vận dụng

Cho \(a,{\mkern 1mu} b,{\mkern 1mu} c\) là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:

\(\dfrac{{{a^3} + {b^3}}}{{ab}} + \dfrac{{{b^3} + {c^3}}}{{bc}} + \dfrac{{{c^3} + {a^3}}}{{ca}}\) \( \ge 2(a + b + c)\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:769167

Phương pháp giải

Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức \({x^3} + {y^3} \ge xy(x + y)\) với \(x,{\mkern 1mu} y\) là các số dương.

Áp dụng bất đẳng thức trên ta chứng minh được bài toán.

Giải chi tiết

Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức \({x^3} + {y^3} \ge xy(x + y)\) với \(x,{\mkern 1mu} y\) là các số dương.

Thật vậy: \({x^3} + {y^3} \ge xy(x + y) \Leftrightarrow (x + y)\left( {{x^2} + {y^2} - xy} \right) \ge xy(x + y) \Leftrightarrow {(x - y)^2} \ge 0\)

Áp dụng bất đẳng thức trên ta được:

\(\dfrac{{{a^3} + {b^3}}}{{ab}} + \dfrac{{{b^3} + {c^3}}}{{bc}} + \dfrac{{{c^3} + {a^3}}}{{ca}} \ge \dfrac{{ab(a + b)}}{{ab}} + \dfrac{{bc(b + c)}}{{bc}} + \dfrac{{ca(c + a)}}{{ca}} = 2(a + b + c)\)

Suy ra \(\dfrac{{{a^3} + {b^3}}}{{ab}} + \dfrac{{{b^3} + {c^3}}}{{bc}} + \dfrac{{{c^3} + {a^3}}}{{ca}} \ge 2(a + b + c)\).

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = c\).

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link