Cho các số dương a,b,c. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P=++

Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Câu hỏi số 7701:

Cho các số dương a,b,c. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P= $\frac{a+b}{a+b+c}$ + $\frac{b+c}{b+c+4a}$ + $\frac{c+a}{c+a+16b}$

A. P min= $\frac{3}{2}$

B. P min= $\frac{16}{15}$

C. P min=3

D. P min= $\frac{1}{15}$

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:7701

Giải chi tiết

Đặt x=a+b+c, y=b+c+4a, z=c+a+16b. Khi đó x,y,z>0 và

a= $\frac{y-x}{3}$ , b= $\frac{z-x}{15}$ , c= $\frac{21x-5y-z}{15}$

= $\frac{-6x+5y+z}{15x}$ + $\frac{20x-5y}{15y}$ + $\frac{16x-z}{15z}$ = $-\frac{4}{5}$ + $\frac{1}{3}$ . $\frac{y}{x}$ + $\frac{1}{15}$ . $\frac{z}{x}$ + $\frac{4}{3}$ . $\frac{x}{y}$ + $\frac{16}{15}$ . $\frac{x}{z}$

= $\frac{1}{3}$ ( $\frac{y}{x}$ +4 $\frac{x}{y}$ )+ $\frac{1}{15}$ ( $\frac{z}{x}$ +16 $\frac{x}{z}$ ) $-\frac{4}{5}$ ≥ $\frac{4}{3}$ + $\frac{8}{15}$ $-\frac{4}{5}$ = $\frac{16}{15}$

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\left\{\begin{matrix} y^{2}=4x^{2}\\z^{2}=16x^{2} \end{matrix}\right.$ <=> $\left\{\begin{matrix} y=2x\\z=4x \end{matrix}\right.$

<=> $\left\{\begin{matrix} b+c+4a=2(a+b+c)\\c+a+16b=4(a+b+c) \end{matrix}\right.$ <=> a= $\frac{5}{7}$ c; b= $\frac{3}{7}$ c

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là $\frac{16}{15}$ đạt được khi a= $\frac{5}{7}$ c; b= $\frac{3}{7}$ c

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.