Nhà trường $X$ dự định làm một vườn hoa dạng elip được chia ra làm bốn

Câu hỏi số 770827:

Vận dụng

Nhà trường $X$ dự định làm một vườn hoa dạng elip được chia ra làm bốn phần bởi hai đường parabol có chung đỉnh, đối xứng với nhau qua trục của elip như hình vẽ bên dưới. Biết độ dài trục lớn, trục nhỏ của elip lần lượt là 8 m và $4{\rm{\;m}};{F_1},{F_2}$ là hai tiêu điểm của elip. Phần $A,B$ dùng để trồng hoa, phần $C,D$ dùng để trồng cỏ. Kinh phí để trồng mỗi mét vuông hoa và cỏ lần lượt là 250000 (đồng) và 150000 (đồng). Tổng số tiền để hoàn thành vườn hoa trên (làm tròn đến phần chục, đơn vị triệu đồng) bằng

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:770827

Phương pháp giải

Gắn hệ trục tọa độ xác định phương trình elip và parabol từ đó sử dụng tích phân tính diện tích.

Giải chi tiết

Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ.

Do elip có độ dài trục lớn $2a = 8 \Leftrightarrow a = 4$ , độ dài trục nhỏ $2b = 4 \Leftrightarrow b = 2$ .

Diện tích của $\left( E \right)$ là: ${S_{\left( E \right)}} = \pi ab = 8\pi$ .

Phương trình chính tắc $\left( E \right)$ là: $\dfrac{{{x^2}}}{{16}} + \dfrac{{{y^2}}}{4} = 1$ .

Suy ra $y = \pm \dfrac{1}{2}\sqrt {16 - {x^2}}$ .

Ta có $c = \sqrt {{a^2} - {b^2}} = 2\sqrt 3 \Rightarrow {F_2}\left( {2\sqrt 3 ;0} \right)$ .

Do $N$ và ${F_2}$ có cùng hoành độ $\Rightarrow N\left( {2\sqrt 3 ;1} \right)$ .

Gọi $\left( P \right)$ : $y = k{x^2}$ là parabol nằm ở phía trên trục $Ox$ .

Do $N \in \left( P \right)$ ta có $1 = k{(2\sqrt 3 )^2} \Leftrightarrow k = \dfrac{1}{{12}}$ . Suy ra $\left( P \right):y = \dfrac{1}{{12}}{x^2}$ .

Diện tích phần $A$ là

$= \int\limits_0^{2\sqrt 3 } {\sqrt {16 - {x^2}} } \;dx - \dfrac{1}{6}\int\limits_0^{2\sqrt 3 } {{x^2}} dx = \dfrac{{8\pi + 2\sqrt 3 }}{3} \Rightarrow {S_A} + {S_B} = 2{S_A} = \dfrac{{16\pi + 4\sqrt 3 }}{3}$ .

Tổng diện tích phần $C,D$ là: ${S_C} + {S_D} = {S_{\left( E \right)}} - \left( {{S_A} + {S_B}} \right) = \dfrac{{8\pi - 4\sqrt 3 }}{3}$ .

Khi đó tổng số tiền để hoàn thành vườn hoa trên là: $\dfrac{{16\pi + 4\sqrt 3 }}{3} \cdot 250000 + \dfrac{{8\pi - 4\sqrt 3 }}{3} \cdot 150000 \approx 5676000$ (đồng). Làm tròn thành 5,7 (triệu đồng).

Đáp án: 5,7

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM; 70+ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.