Gọi \(\alpha \) là góc giữa hai đường thẳng \(AB'\) và \(BC'\). Biết khoảng
Gọi \(\alpha \) là góc giữa hai đường thẳng \(AB'\) và \(BC'\). Biết khoảng cách từ điểm \(C'\) đến mặt phẳng \(\left( {A'BC} \right)\) bằng \(\dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\), tính \(\cos \alpha \).
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
Ứng dụng tích vô hướng:
Gọi \(\alpha \) là góc giữa hai đường thẳng \(AB'\) và \(BC'\). Khi đó \(\cos \alpha = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {AB'} .\overrightarrow {BC'} } \right|}}{{AB'.BC'}}\).
Gọi I là giao điểm của \(AC'\) và \(A'C\). Ta có \(I = AC' \cap \left( {A'BC} \right)\)và \(IA = IC'\) nên:\(d\left( {C',\left( {A'BC} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {A'BC} \right)} \right) = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\).
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên A’B.
Khi đó \(AH \bot \left( {A'BC} \right)\) nên \(d\left( {A,\left( {A'BC} \right)} \right) = AH = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\).
Ta có \(\dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{AA{'^2}}} + \dfrac{1}{{A{B^2}}} \Rightarrow \dfrac{1}{{{{\left( {\dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}} \right)}^2}}} = \dfrac{1}{{AA{'^2}}} + \dfrac{1}{{{a^2}}} \Rightarrow AA' = a\sqrt 2 \).
Ta có \(\overrightarrow {AB'} .\overrightarrow {BC'} = AB'.BC'.\cos \left( {\overrightarrow {AB'} ,\overrightarrow {BC'} } \right)\)
\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AB'} .\overrightarrow {BC'} } \right| = AB'.BC'.\left| {\cos \left( {\overrightarrow {AB'} ,\overrightarrow {BC'} } \right)} \right|\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left| {\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BB'} } \right)\left( {\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BB'} } \right)} \right| = a\sqrt 3 .a\sqrt 3 .\cos \alpha \\ \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {BB'} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BB'} .\overrightarrow {BB'} } \right| = 3{a^2}.\cos \alpha \\ \Rightarrow \left| {0 + 0 + 0 + BB{'^2}} \right| = 3{a^2}.\cos \alpha \\ \Rightarrow {\left( {a\sqrt 2 } \right)^2} = 3{a^2}.\cos \alpha \\ \Rightarrow \cos \alpha = \dfrac{2}{3}\end{array}\)
Đáp án cần chọn là: C
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
