Dựa vào thông tin dưới đây để trả lời các câu sauCho lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy là
Dựa vào thông tin dưới đây để trả lời các câu sau
Cho lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác \(ABC\) vuông cân tại B, \(AB = a\).
Trả lời cho các câu 1, 2, 3 dưới đây:
Biết góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {A'BC} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) bằng \({60^0}\), tính thể tích của khối lăng trụ đã cho.
Đáp án đúng là: C
Công thức tính thể tích khối lăng trụ: \(V = S.h\), trong đó \(S\) là diện tích đáy, \(h\) là chiều cao của khối lăng trụ.
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot AA'\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {ABB'A'} \right) \Rightarrow BC \bot A'B\).
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {A'BC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\A'B \subset \left( {A'BC} \right);A'B \bot BC\\AB \subset \left( {ABC} \right);AB \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow \left[ {\left( {A'BC} \right),\left( {ABC} \right)} \right] = \angle {A'BA}\). Do đó \(\angle {A'BA} = {60^0}\).
Suy ra \(AA' = AB.\tan \angle {A'BA} = a.\tan {60^0} = a\sqrt 3 \).
Diện tích tam giác ABC là \({S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.BC = \dfrac{{{a^2}}}{2}\).
Thể tích của khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) là \({V_{ABC.A'B'C'}} = AA'.{S_{ABC}} = a\sqrt 3 .\dfrac{{{a^2}}}{2} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}\).
Đáp án cần chọn là: C
Biết thể tích khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) là \({a^3}\), tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng \(\left( {AB'C} \right)\)
Đáp án đúng là: B
Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng là độ dài đoạn thẳng nối điểm đó và hình chiếu của nó trên mặt phẳng.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của B trên AC, K là hình chiếu vuông góc của B trên B’H.
Khi đó \(d\left( {B,\left( {B'AC} \right)} \right) = BK\).
BH là đường cao trong tam giác \(ABC\) vuông cân tại B nên \(BH = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
Ta có \({V_{ABC.A'B'C'}} = BB'.{S_{ABC}} \Rightarrow BB' = \dfrac{{{V_{ABC.A'B'C'}}}}{{{S_{ABC}}}} = \dfrac{{{a^3}}}{{\dfrac{{{a^2}}}{2}}} = 2a\).
Theo hệ thức lượng trong tam giác BB’H vuông tại B, ta có:
\(\dfrac{1}{{B{K^2}}} = \dfrac{1}{{BB{'^2}}} + \dfrac{1}{{B{H^2}}} = \dfrac{1}{{{{\left( {2a} \right)}^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}}} \Rightarrow BK = \dfrac{{2a}}{3}\).
Vậy khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng \(\left( {AB'C} \right)\) bằng \(\dfrac{{2a}}{3}\).
Đáp án cần chọn là: B
Gọi \(\alpha \) là góc giữa hai đường thẳng \(AB'\) và \(BC'\). Biết khoảng cách từ điểm \(C'\) đến mặt phẳng \(\left( {A'BC} \right)\) bằng \(\dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\), tính \(\cos \alpha \).
Đáp án đúng là: C
Ứng dụng tích vô hướng:
Gọi \(\alpha \) là góc giữa hai đường thẳng \(AB'\) và \(BC'\). Khi đó \(\cos \alpha = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {AB'} .\overrightarrow {BC'} } \right|}}{{AB'.BC'}}\).
Gọi I là giao điểm của \(AC'\) và \(A'C\). Ta có \(I = AC' \cap \left( {A'BC} \right)\)và \(IA = IC'\) nên:\(d\left( {C',\left( {A'BC} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {A'BC} \right)} \right) = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\).
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên A’B.
Khi đó \(AH \bot \left( {A'BC} \right)\) nên \(d\left( {A,\left( {A'BC} \right)} \right) = AH = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\).
Ta có \(\dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{AA{'^2}}} + \dfrac{1}{{A{B^2}}} \Rightarrow \dfrac{1}{{{{\left( {\dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}} \right)}^2}}} = \dfrac{1}{{AA{'^2}}} + \dfrac{1}{{{a^2}}} \Rightarrow AA' = a\sqrt 2 \).
Ta có \(\overrightarrow {AB'} .\overrightarrow {BC'} = AB'.BC'.\cos \left( {\overrightarrow {AB'} ,\overrightarrow {BC'} } \right)\)
\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AB'} .\overrightarrow {BC'} } \right| = AB'.BC'.\left| {\cos \left( {\overrightarrow {AB'} ,\overrightarrow {BC'} } \right)} \right|\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left| {\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BB'} } \right)\left( {\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BB'} } \right)} \right| = a\sqrt 3 .a\sqrt 3 .\cos \alpha \\ \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {BB'} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BB'} .\overrightarrow {BB'} } \right| = 3{a^2}.\cos \alpha \\ \Rightarrow \left| {0 + 0 + 0 + BB{'^2}} \right| = 3{a^2}.\cos \alpha \\ \Rightarrow {\left( {a\sqrt 2 } \right)^2} = 3{a^2}.\cos \alpha \\ \Rightarrow \cos \alpha = \dfrac{2}{3}\end{array}\)
Đáp án cần chọn là: C
Quảng cáo
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
