Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(AB = a\sqrt 6 ,AC = 3a\sqrt 2 ,AA' = 3a\). Gọi M là điểm

Câu hỏi số 771987:

Thông hiểu

Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(AB = a\sqrt 6 ,AC = 3a\sqrt 2 ,AA' = 3a\). Gọi M là điểm thuộc đoạn \(BB'\) sao cho \(BM = 2B'M\). Góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {CM} \) và \(\overrightarrow {BD} \) là

A. \({45^0}\)

B. \({135^0}\)

C. \({60^0}\)

D. \({120^0}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:771987

Giải chi tiết

Ta có \(BD = AC = 3a\sqrt 2 \), \(BM = 2B'M \Rightarrow BM = \dfrac{2}{3}BB' = \dfrac{2}{3}AA' = \dfrac{2}{3}.3a = 2a\), \(BC = \sqrt {A{C^2} - A{B^2}} = \sqrt {{{\left( {3a\sqrt 2 } \right)}^2} - {{\left( {a\sqrt 6 } \right)}^2}} = 2a\sqrt 3 \), \(CM = \sqrt {B{C^2} + B{M^2}} = \sqrt {{{\left( {2a\sqrt 3 } \right)}^2} + {{\left( {2a} \right)}^2}} = 4a\).

Ta có \(\overrightarrow {CM} = \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BM} = \overrightarrow {CB} + \dfrac{2}{3}\overrightarrow {BB'} \), \(\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} \). Do đó:

\(\overrightarrow {CM} .\overrightarrow {BD} = \left( {\overrightarrow {CB} + \dfrac{2}{3}\overrightarrow {BB'} } \right)\left( {\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} } \right) \Rightarrow CM.BD.\cos \left( {\overrightarrow {CM} ,\overrightarrow {BD} } \right) = \overrightarrow {CB} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CB} .\overrightarrow {CD} + \dfrac{2}{3}\overrightarrow {BB'} \overrightarrow {BC} + \dfrac{2}{3}\overrightarrow {BB'} \overrightarrow {CD} \)

\( \Rightarrow CM.BD.\cos \left( {\overrightarrow {CM} ,\overrightarrow {BD} } \right) = - B{C^2} \Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow {CM} ,\overrightarrow {BD} } \right) = \dfrac{{ - B{C^2}}}{{CM.BD}} = \dfrac{{ - {{\left( {2a\sqrt 3 } \right)}^2}}}{{4a.3a\sqrt 2 }} = - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \left( {\overrightarrow {CM} ,\overrightarrow {BD} } \right) = {135^0}\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.