Cho hai biểu thức \(A = \dfrac{{x - 7}}{{\sqrt x }}\)và \(B = \dfrac{1}{{\sqrt x + 2}} + \dfrac{{\sqrt x

Câu hỏi số 772750:

Vận dụng

Cho hai biểu thức \(A = \dfrac{{x - 7}}{{\sqrt x }}\)và \(B = \dfrac{1}{{\sqrt x + 2}} + \dfrac{{\sqrt x }}{{2 - \sqrt x }} + \dfrac{{2x - \sqrt x + 2}}{{x - 4}}\) với \(x > 0,x \ne 4\)

1) Tính giá trị của biểu thức \(A\) khi \(x = 9\)

2) Rút gọn biểu thức \(B\).

3) Tìm tất cả các giá trị nguyên của \(x\) để biểu thức \(P = A.B\) có giá trị nguyên

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:772750

Giải chi tiết

1) Thay x = 9 ( tmđk) vào biểu thức \(A\), ta được:

\(A = \dfrac{{9 - 7}}{{\sqrt 9 }} = \dfrac{2}{3}\)

Vậy khi \(x = 9\) thì \(A = \dfrac{2}{3}\)

2) \(B = \dfrac{1}{{\sqrt x + 2}} - \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}} + \dfrac{{2x - \sqrt x + 2}}{{x - 4}}\)

\(\begin{array}{l} = \dfrac{{\sqrt x - 2 - \sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right) + 2x - \sqrt x + 2}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}\\ = \dfrac{{\sqrt x - 2 - x - 2\sqrt x + 2x - \sqrt x + 2}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt {x - 2} } \right)}}\\ = \dfrac{{x - 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} = \dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt {x - 2} } \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}\end{array}\)

Vậy \(B = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}\) với \(x > 0,x \ne 4\)

3) \(P = \dfrac{{x - 7}}{{\sqrt x }}.\dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} = \dfrac{{x - 7}}{{\sqrt x + 2}}\)

+ Xét \(P = \dfrac{{x - 7}}{{\sqrt x }}.\dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} = \dfrac{{x - 7}}{{\sqrt x + 2}}\) ( thoả mãn đk )

+ Xét \(P \ne 0\)

TH1: \(x \in \mathbb{Z};x \ne 7;\sqrt x \)là số vô tỉ \(P \notin \mathbb{Z}\) ( loại)

TH2: \(x \in \mathbb{Z},\sqrt x \in \mathbb{Z}\)

Ta có: \(P = \dfrac{{x - 4 - 3}}{{\sqrt {x + 2} }} = \dfrac{{x - 4}}{{\sqrt x + 2}} - \dfrac{3}{{\sqrt x + 2}} = \sqrt x - 2 - \dfrac{3}{{\sqrt x + 2}}\)

Để \(P \in \mathbb{Z}\)

Suy ra \(\sqrt x - 2 - \dfrac{3}{{\sqrt x + 2}} \in \mathbb{Z}\)

Suy ra \(\dfrac{3}{{\sqrt x + 2}} \in \mathbb{Z}\)

Suy ra \(\sqrt x + 2 \in \)Ư(3)

Vậy \(\sqrt x + 2 \in \left\{ {1;3} \right\}\)

Do \(\sqrt x + 2 \ge 2 \Leftrightarrow \sqrt x + 2 = 3 \Leftrightarrow \sqrt x = 1 \Leftrightarrow x = 1\) ( thoả mãn )

Vậy với \(x \in \left\{ {1;7} \right\}\); thì P có giá trị nguyên

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 9 & Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com

>> Chi tiết khoá học xem: TẠI ĐÂY

Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.