Cho hai biểu thức \(A = \dfrac{{x - 7}}{{\sqrt x }}\)và \(B = \dfrac{1}{{\sqrt x + 2}} + \dfrac{{\sqrt x

Câu hỏi số 772750:

Vận dụng

Cho hai biểu thức \(A = \dfrac{{x - 7}}{{\sqrt x }}\)và \(B = \dfrac{1}{{\sqrt x + 2}} + \dfrac{{\sqrt x }}{{2 - \sqrt x }} + \dfrac{{2x - \sqrt x + 2}}{{x - 4}}\) với \(x > 0,x \ne 4\)

1) Tính giá trị của biểu thức \(A\) khi \(x = 9\)

2) Rút gọn biểu thức \(B\).

3) Tìm tất cả các giá trị nguyên của \(x\) để biểu thức \(P = A.B\) có giá trị nguyên

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:772750

Giải chi tiết

1) Thay x = 9 ( tmđk) vào biểu thức \(A\), ta được:

\(A = \dfrac{{9 - 7}}{{\sqrt 9 }} = \dfrac{2}{3}\)

Vậy khi \(x = 9\) thì \(A = \dfrac{2}{3}\)

2) \(B = \dfrac{1}{{\sqrt x + 2}} - \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}} + \dfrac{{2x - \sqrt x + 2}}{{x - 4}}\)

\(\begin{array}{l} = \dfrac{{\sqrt x - 2 - \sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right) + 2x - \sqrt x + 2}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}\\ = \dfrac{{\sqrt x - 2 - x - 2\sqrt x + 2x - \sqrt x + 2}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt {x - 2} } \right)}}\\ = \dfrac{{x - 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} = \dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt {x - 2} } \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}\end{array}\)

Vậy \(B = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}\) với \(x > 0,x \ne 4\)

3) \(P = \dfrac{{x - 7}}{{\sqrt x }}.\dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} = \dfrac{{x - 7}}{{\sqrt x + 2}}\)

+ Xét \(P = \dfrac{{x - 7}}{{\sqrt x }}.\dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} = \dfrac{{x - 7}}{{\sqrt x + 2}}\) ( thoả mãn đk )

+ Xét \(P \ne 0\)

TH1: \(x \in \mathbb{Z};x \ne 7;\sqrt x \)là số vô tỉ \(P \notin \mathbb{Z}\) ( loại)

TH2: \(x \in \mathbb{Z},\sqrt x \in \mathbb{Z}\)

Ta có: \(P = \dfrac{{x - 4 - 3}}{{\sqrt {x + 2} }} = \dfrac{{x - 4}}{{\sqrt x + 2}} - \dfrac{3}{{\sqrt x + 2}} = \sqrt x - 2 - \dfrac{3}{{\sqrt x + 2}}\)

Để \(P \in \mathbb{Z}\)

Suy ra \(\sqrt x - 2 - \dfrac{3}{{\sqrt x + 2}} \in \mathbb{Z}\)

Suy ra \(\dfrac{3}{{\sqrt x + 2}} \in \mathbb{Z}\)

Suy ra \(\sqrt x + 2 \in \)Ư(3)

Vậy \(\sqrt x + 2 \in \left\{ {1;3} \right\}\)

Do \(\sqrt x + 2 \ge 2 \Leftrightarrow \sqrt x + 2 = 3 \Leftrightarrow \sqrt x = 1 \Leftrightarrow x = 1\) ( thoả mãn )

Vậy với \(x \in \left\{ {1;7} \right\}\); thì P có giá trị nguyên

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link