Xét hàm số $f(x) = \sqrt{ax^{2} - 3} + \sqrt{bx^{2} + 12x + 3} - 5x\,\,\left( {a,\, b > 0} \right)$.

Câu hỏi số 774674:

Vận dụng

Xét hàm số $f(x) = \sqrt{ax^{2} - 3} + \sqrt{bx^{2} + 12x + 3} - 5x\,\,\left( {a,\, b > 0} \right)$. Biết $a + b = 13$, đồng thời $f(x)$ có giới hạn hữu hạn khi $\left. x\rightarrow + \infty \right.$. Khi đó, tính giá trị nhỏ nhất của$\lim\limits_{x\rightarrow + \infty}f(x)$. (nhập đáp án vào ô trống)

Đáp án:

Đáp án đúng là: 2

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:774674

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp liên hợp

Giải chi tiết

Điều kiện cần để $f(x)$có giới hạn hữu hạn khi $\left. x\rightarrow + \infty \right.$là: $\sqrt{a} + \sqrt{b} - 5 = 0$.

Khi đó, giải hệ $\left\{ \begin{array}{l} {a + b = 13} \\ {\sqrt{a} + \sqrt{b} = 5} \end{array} \right.$ ta được $\left\lbrack \begin{array}{l} {a = 4,\, b = 9} \\ {a = 9,\, b = 4} \end{array} \right.$.

Với $a = 4,\, b = 9$ ta có:

$\begin{array}{l} {\lim\limits_{x\rightarrow + \infty}f(x) = \lim\limits_{x\rightarrow + \infty}\left( {\sqrt{4x^{2} - 3} + \sqrt{9x^{2} + 12x + 3} - 5x} \right)} \\ {= \lim\limits_{x\rightarrow + \infty}\left( {\left( {\sqrt{4x^{2} - 3} - 2x} \right) + \left( {\sqrt{9x^{2} + 12x + 3} - 3x} \right)} \right)} \\ {= \lim\limits_{x\rightarrow + \infty}\left( {\dfrac{- 3}{\sqrt{4x^{2} - 3} + 2x} + \dfrac{12x + 3}{\sqrt{9x^{2} + 12x + 3} + 3x}} \right)} \\ {= 0 + \dfrac{12}{3 + 3} = 2} \end{array}$

Với $a = 9,\, b = 4$ ta có:

$\begin{array}{l} {\lim\limits_{x\rightarrow + \infty}f(x) = \lim\limits_{x\rightarrow + \infty}\left( {\sqrt{9x^{2} - 3} + \sqrt{4x^{2} + 12x + 3} - 5x} \right)} \\ {= \lim\limits_{x\rightarrow + \infty}\left( {\left( {\sqrt{9x^{2} - 3} - 3x} \right) + \left( {\sqrt{4x^{2} + 12x + 3} - 2x} \right)} \right)} \\ {= \lim\limits_{x\rightarrow + \infty}\left( {\dfrac{- 3}{\sqrt{9x^{2} - 3} + 3x} + \dfrac{12x + 3}{\sqrt{4x^{2} + 12x + 3} + 2x}} \right)} \\ {= 0 + \dfrac{12}{2 + 2} = 3} \end{array}$

Từ 2 trường hợp, ta suy ra giá trị nhỏ nhất của $\lim\limits_{x\rightarrow + \infty}f(x)$là 2 khi $a = 4,\, b = 9$.

Đáp án cần điền là: 2

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.