Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông tâm $O$ cạnh $a$. Hình chiếu vuông góc của $S$xuống

Câu hỏi số 774680:

Vận dụng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông tâm $O$ cạnh $a$. Hình chiếu vuông góc của $S$xuống mặt phẳng đáy là trung điểm của $AO$. Gọi $M,\, N$ lần lượt là trung điểm của $AB,\, AD$. Biết thể tích của hình chóp là $V = \dfrac{2a^{3}}{3}$, góc giữa hai đường thẳng $SM$và $CN$gần nhất với giá trị nào sau đây?

A. $87{^\circ}.$

B. $88{^\circ}.$

C. $89{^\circ}.$

D. $90{^\circ}.$

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:774680

Phương pháp giải

Chọn đường thẳng trung gian song song với một đường thẳng và cắt đường thẳng còn lại.

Giải chi tiết

Gọi $K$ là điểm thuộc cạnh $BC$ sao cho $\dfrac{BK}{BC} = \dfrac{1}{4}$.

Ta chứng minh được $MK \parallel CN$, do đó góc cần tính trở thành góc giữa $SM$và $MK$.

Có $SH = \dfrac{3V}{S_{ABCD}} = \dfrac{3.\dfrac{2a^{3}}{3}}{a^{2}} = 2a$

Có$MH = \dfrac{1}{2}BO = \dfrac{1}{2}.\dfrac{a}{\sqrt{2}} = \dfrac{a}{2\sqrt{2}}$

Có$KH = \dfrac{3}{4}AB = \dfrac{3}{4}a = \dfrac{3a}{4}$

Có$MK = \sqrt{BM^{2} + BK^{2}} = \sqrt{\left( \dfrac{a}{2} \right)^{2} + \left( \dfrac{a}{4} \right)^{2}} = \dfrac{a\sqrt{5}}{4}$

Có$SM = \sqrt{SH^{2} + MH^{2}} = \sqrt{\left( {2a} \right)^{2} + \left( \dfrac{a}{2\sqrt{2}} \right)^{2}} = \dfrac{a\sqrt{66}}{4}$

Có$SK = \sqrt{SH^{2} + HK^{2}} = \sqrt{\left( {2a} \right)^{2} + \left( \dfrac{3a}{4} \right)^{2}} = \dfrac{a\sqrt{73}}{4}$

Có $\cos\widehat{SMK} = \dfrac{SM^{2} + MK^{2} - SK^{2}}{2SM.MK} = \dfrac{\dfrac{66a^{2}}{16} + \dfrac{5a^{2}}{16} - \dfrac{73a^{2}}{16}}{2.\dfrac{a\sqrt{66}}{4}.\dfrac{a\sqrt{5}}{4}} = - \dfrac{1}{\sqrt{330}}$

$\left. \Rightarrow\left( {SM,\, MK} \right) = \arccos\left( \left| \dfrac{- 1}{\sqrt{330}} \right| \right) \approx 87^{0}. \right.$

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.