Cho hình chóp $S.ABCD$có đáy là hình thoi tâm $O$ cạnh $a$, $\widehat{BAD} = 135^{0}$. Biết $SA = 2a$ và

Câu hỏi số 774681:

Vận dụng

Cho hình chóp $S.ABCD$có đáy là hình thoi tâm $O$ cạnh $a$, $\widehat{BAD} = 135^{0}$. Biết $SA = 2a$ và tạo với mặt phẳng đáy một góc 60⁰. Gọi $I$ là trung điểm của $SO$,$(P)$là mặt phẳng đi qua $BI$ và song song với cạnh $AC$, $(P)$ chia hình chóp $S.ABCD$thành hai phần. Biết thể tích của phần nhỏ hơn là $\dfrac{a^{3}\sqrt{m}}{n}$, với $m,\, n \in {\mathbb{N}}^{*};\, m + n < 60$. Tính giá trị của biểu thức $T = \dfrac{n}{m^{2}}$. (nhập đáp án vào ô trống)

Đáp án:

Đáp án đúng là: 1

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:774681

Phương pháp giải

Tính các tỉ lệ độ dài, từ đó sử dụng tỉ số thể tích.

Giải chi tiết

Mặt phẳng $(P)$ cắt $SA,\, SC,\, SD$lần lượt tại $M,\, N,\, P$.

Do $\left. (P) \parallel AC\Rightarrow MN \parallel AC \right.$mà $I$ là trung điểm của $SO$nên $M,\, N$lần lượt là trung điểm của $SA,\, SC$.

Gọi $K$là trung điểm $PD$.

Xét tam giác $BPD$ có $O,\, K$lần lượt là trung điểm $DB,\, DP$ nên $OK \parallel BP$.

Xét tam giác $SOK$ có $I$là trung điểm $SO$, mà $IP \parallel OK$nên $P$ là trung điểm $\left. SK\Rightarrow SP = PK = KO \right.$.

Có $\left. \left\{ \begin{array}{l} {\dfrac{V_{SBNP}}{V_{SBCD}} = \dfrac{SB}{SB}.\dfrac{SN}{SC}.\dfrac{SP}{SD} = 1.\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{6}} \\ {\dfrac{V_{SBMP}}{V_{SBAD}} = \dfrac{SB}{SB}.\dfrac{SM}{SA}.\dfrac{SP}{SD} = 1.\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{6}} \end{array} \right.\Rightarrow\dfrac{V_{SBNPM}}{V_{SABCD}} = \dfrac{1}{6} \right.$

Chiều cao của hình chóp $h = SA.\cos\left( {SA,\,\left( {ABCD} \right)} \right) = 2a.\cos 60^{0} = a\sqrt{3}$

$\left. \Rightarrow V_{SABCD} = \dfrac{1}{3}S_{ABCD}.h = \dfrac{1}{3}.a.a.\sin 135^{0}.a\sqrt{3} = \dfrac{a^{3}\sqrt{6}}{6} \right.$

$\left. \Rightarrow V_{SBNPM} = \dfrac{V_{SABCD}}{6} = \dfrac{a^{3}\sqrt{6}}{36}\Rightarrow\dfrac{n}{m^{2}} = \dfrac{36}{6^{2}} = 1 \right.$

Đáp án cần điền là: 1

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.