Giá trị thực của tham số m để phương trình $9^{x} - 2\left( {m + 1} \right).3^{x} + 243 = 0$

Câu hỏi số 775305:

Vận dụng

Giá trị thực của tham số m để phương trình $9^{x} - 2\left( {m + 1} \right).3^{x} + 243 = 0$ có hai nghiệm phân biệt $x_{1},x_{2}$ thỏa mãn $\left( {x_{1} + 1} \right)\left( {x_{2} + 1} \right) = 12$ thuộc khoảng nào dưới đây?

A. $\left( {0;5} \right)$.

B. $\left( {5;10} \right)$.

C. $\left( {10;15} \right)$.

D. $\left( {15;20} \right)$.

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:775305

Phương pháp giải

Phương trình mũ và định lý Vi – ét trong phương trình bậc hai.

Giải chi tiết

ĐKXĐ: $x \in {\mathbb{R}}$.

Ta có $9^{x} - 2\left( {m + 1} \right).3^{x} + 243 = 0$ (1)

Đặt $\left. t = 3^{x},t > 0\Leftrightarrow x = \log_{3}t \right.$. Khi đó (1) trở thành $t^{2} - 2\left( {m + 1} \right)t + 243 = 0$ (2)

Để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt $x_{1},x_{2}$ thì phương trình (2) phải có hai nghiệm dương phân biệt $t_{1},t_{2}$$\left. \Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {\Delta_{(2)}^{'} > 0} \\ {t_{1} + t_{2} > 0} \\ {t_{1}t_{2} > 0} \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {\left( {m + 1} \right)^{2} - 243 > 0} \\ {2\left( {m + 1} \right) > 0} \\ {243 > 0} \end{array} \right. \right.$

$\left. \Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {m > 9\sqrt{3} - 1 \vee m < - 9\sqrt{3} - 1} \\ {m > - 1} \end{array} \right.\Leftrightarrow m > 9\sqrt{3} - 1 \right.$

Ta có $\left. \left( {x_{1} + 1} \right)\left( {x_{2} + 1} \right) = 12\Leftrightarrow x_{1}x_{2} + x_{1} + x_{2} + 1 = 12 \right.$

$\left. \Leftrightarrow\log_{3}t_{1}.\log_{3}t_{2} + \log_{3}t_{1} + \log_{3}t_{2} - 11 = 0 \right.$

$\begin{array}{l} \left. \Leftrightarrow\log_{3}t_{1}.\log_{3}t_{2} + \log_{3}\left( {t_{1}.t_{2}} \right) - 11 = 0 \right. \\ \left. \Leftrightarrow\log_{3}t_{1}.\log_{3}\dfrac{243}{t_{1}} + \log_{3}243 - 11 = 0 \right. \\ \left. \Leftrightarrow\log_{3}t_{1}.\log_{3}\dfrac{243}{t_{1}} - 6 = 0 \right. \end{array}$

$\begin{array}{l} \left. \Leftrightarrow\log_{3}t_{1}.\left( {5 - \log_{3}t_{1}} \right) - 6 = 0 \right. \\ \left. \Leftrightarrow - \log_{3}^{2}t_{1} + 5\log_{3}t_{1} - 6 = 0 \right. \\ \left. \Leftrightarrow\log_{3}t_{1} = 3 \vee \log_{3}t_{1} = 2 \right. \\ \left. \Leftrightarrow t_{1} = 27 \vee t_{1} = 9 \right. \end{array}$

Khi đó $t_{2} = 9 \vee t_{2} = 27$ nên $\left. t_{1} + t_{2} = 36\Leftrightarrow 2\left( {m + 1} \right) = 36\Leftrightarrow m = 17\,\,(n) \right.$.

Vậy giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán thuộc $\left( {15;20} \right)$.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.