Cho $n$ là số nguyên dương thoả mãn $C_{n}^{1} + C_{n}^{2} + ... + C_{n}^{n - 1} + C_{n}^{n}

Câu hỏi số 775725:

Vận dụng

Cho $n$ là số nguyên dương thoả mãn $C_{n}^{1} + C_{n}^{2} + ... + C_{n}^{n - 1} + C_{n}^{n} = 4095$. Giá trị của biểu thức $S = \left( C_{n}^{1} \right)^{2} + \left( C_{n}^{2} \right)^{2} + \left( C_{n}^{3} \right)^{2} + ... + \left( C_{n}^{n} \right)^{2}$ bằng:

A. $2\, 704\, 155$.

B. $2\, 496143$.

C. $10\, 400\, 599$.

D. $705431$.

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:775725

Phương pháp giải

Vận dụng khai triển Newton.

Giải chi tiết

Xét khai triển Newton:

$\begin{array}{l} {\left( {1 + x} \right)^{n} = C_{n}^{0}.1^{0}.x^{n} + C_{n}^{1}.1^{1}.x^{n - 1} + ... + C_{n}^{n}.1^{n}.x^{0} = C_{n}^{0}.x^{n} + C_{n}^{1}.x^{n - 1} + ... + C_{n}^{n}.x^{0}\,(1)} \\ {\left( {x + 1} \right)^{n} = C_{n}^{0}.x^{0}.1^{n} + C_{n}^{1}.x^{1}.1^{n - 1} + ... + C_{n}^{n}.x^{n}.1^{0} = C_{n}^{0}.x^{0} + C_{n}^{1}.x^{1} + ... + C_{n}^{n}.x^{n}\,(2)} \end{array}$

Cho $x = 1$, khi đó $(1)$ trở thành $\left. 2^{n} = C_{n}^{0} + C_{n}^{1} + ... + C_{n}^{n}\Leftrightarrow C_{n}^{1} + ... + C_{n}^{n} = 2^{n} - C_{n}^{0} = 2^{n} - 1 \right.$

Cho $\left. 2^{n} - 1 = 4095\Leftrightarrow n = 12 \right.$.

Nhân theo vế $(1)$ và $(2)$ ta được:

$\left( {1 + x} \right)^{2n} = \left( {C_{n}^{0}x^{n} + C_{n}^{1}x^{n - 1} + ... + C_{n}^{n}x^{0}} \right)\left( {C_{n}^{0}x^{0} + C_{n}^{1}x^{1} + ... + C_{n}^{n}x^{n}} \right)$

Đồng nhất hệ số của $x^{n}$ ta được:

$\left. C_{2n}^{n} = \left( C_{n}^{0} \right)^{2} + \left( C_{n}^{1} \right)^{2} + ... + \left( C_{n}^{n} \right)^{2}\Leftrightarrow\left( C_{n}^{1} \right)^{2} + ... + \left( C_{n}^{n} \right)^{2} = C_{2n}^{n} - 1 \right.$

Cho $n = 12$, ta được $S = C_{24}^{12} - 1 = 2704155$.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.