Số nghiệm của phương trình $3\cos^{2}x - \sin x\cos 2x - \dfrac{\sin 2x}{2} - \cos x\cos 2x + \sin x = 2$

Câu hỏi số 775726:

Số nghiệm của phương trình $3\cos^{2}x - \sin x\cos 2x - \dfrac{\sin 2x}{2} - \cos x\cos 2x + \sin x = 2$ trong khoảng $\left( {0;\, 2024\pi} \right)$ bằng:

A. 4047.

B. 4048.

C. 3035.

D. 3036.

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:775726

Phương pháp giải

Biến đổi phương trình lượng giác đã cho về dạng các phương trình lượng giác cơ bản.

Giải chi tiết

Biến đổi phương trình đã cho:

$\begin{array}{l} {3\cos^{2}x - \sin x\cos 2x - \dfrac{\sin 2x}{2} - \cos x\cos 2x + \sin x = 2} \\ \left. \Leftrightarrow 3\cos^{2}x - 2 - \sin x\cos 2x - \sin x\cos x - \cos x\cos 2x + \sin x = 0 \right. \\ \left. \Leftrightarrow 2\cos^{2}x - 1 + \cos^{2}x - 1 - \sin x\cos 2x - \sin x\cos x - \cos x\cos 2x + \sin x = 0 \right. \\ \left. \Leftrightarrow\cos 2x - \sin^{2}x - \sin x\cos 2x - \sin x\cos x - \cos x\cos 2x + \sin x = 0 \right. \\ \left. \Leftrightarrow\cos 2x\left( {1 - \sin x - \cos x} \right) + \sin x\left( {1 - \sin x - \cos x} \right) = 0 \right. \\ \left. \Leftrightarrow\left( {\cos 2x + \sin x} \right)\left( {1 - \sin x - \cos x} \right) = 0 \right. \\ \left. \Leftrightarrow\left( {- 2\sin^{2}x + \sin x + 1} \right)\left( {1 - \sqrt{2}\sin\left( {x + \dfrac{\pi}{4}} \right)} \right) = 0 \right. \\ \left. \Leftrightarrow\left( {\sin x - 1} \right)\left( {2\sin x + 1} \right)\left( {1 - \sqrt{2}\sin\left( {x + \dfrac{\pi}{4}} \right)} \right) = 0 \right. \\ \left. \Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {\sin x = 1} \\ {\sin x = \dfrac{- 1}{2}} \\ {\sin\left( {x + \dfrac{\pi}{4}} \right) = \dfrac{1}{\sqrt{2}}} \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {x = \dfrac{\pi}{2} + k2\pi} \\ {x = \dfrac{7\pi}{6} + k2\pi} \\ {x = \dfrac{11\pi}{6} + k2\pi} \\ {x = k2\pi} \\ {x = \dfrac{\pi}{2} + k2\pi} \end{array} \right.\left( {k \in {\mathbb{Z}}} \right)\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {x = \dfrac{\pi}{2} + k2\pi} \\ {x = \dfrac{7\pi}{6} + k2\pi} \\ {x = \dfrac{11\pi}{6} + k2\pi} \\ {x = k2\pi} \end{array} \right.\left( {k \in {\mathbb{Z}}} \right) \right. \end{array}$

Cho $\left. 0 < \dfrac{\pi}{2} + k2\pi < 2024\pi\Leftrightarrow\dfrac{- 1}{4} < k < \dfrac{4047}{4}\Rightarrow \right.$Có $1012$giá trị nguyên của $k$.

Cho $\left. 0 < \dfrac{7\pi}{6} + k2\pi < 2024\pi\Leftrightarrow\dfrac{- 7}{12} < k < \dfrac{12137}{12}\Rightarrow \right.$Có $1012$giá trị nguyên của $k$.

Cho $\left. 0 < \dfrac{11\pi}{6} + k2\pi < 2024\pi\Leftrightarrow\dfrac{- 11}{12} < k < \dfrac{12133}{12}\Rightarrow \right.$Có $1012$giá trị nguyên của $k$.

Cho $\left. 0 < k2\pi < 2024\pi\Leftrightarrow 0 < k < 1012\Rightarrow \right.$Có $1011$giá trị nguyên của $k$.

Khi đó, phương trình đã cho có $1012 + 1012 + 1012 + 1011 = 4047$ nghiệm trong $\left( {0;\, 2024\pi} \right)$.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.