Tổng các nghiệm của phương trình \(\cos 3x - \sin 3x = \sqrt 2 \) với \(x \in \left( { -

Câu hỏi số 776223:

Thông hiểu

Tổng các nghiệm của phương trình \(\cos 3x - \sin 3x = \sqrt 2 \) với \(x \in \left( { - \dfrac{\pi }{2};\pi } \right)\) có dạng \(a.\pi\). Khi đó giá trị của \(2a\) bằng

Đáp án:

Đáp án đúng là: 1

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:776223

Phương pháp giải

Biến đổi \(\cos 3x - \sin 3x\) về dạng \(\sin \left( {\dfrac{\pi }{4} - 3x} \right)\)

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}\cos 3x - \sin 3x = \sqrt 2 \\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\cos 3x - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\sin 3x = 1\\ \Leftrightarrow \sin \dfrac{\pi }{4}\cos 3x - \cos \dfrac{\pi }{4}\sin 3x = 1\\ \Leftrightarrow \sin \left( {\dfrac{\pi }{4} - 3x} \right) = 1\\ \Leftrightarrow \dfrac{\pi }{4} - 3x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \\ \Leftrightarrow - 3x = \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \\ \Leftrightarrow x = - \dfrac{\pi }{{12}} + \dfrac{{k2\pi }}{3}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Vì \(x \in \left( { - \dfrac{\pi }{2};\pi } \right) \Rightarrow - \dfrac{\pi }{2} < - \dfrac{\pi }{{12}} + \dfrac{{k2\pi }}{3} < \pi \)

\( \Leftrightarrow - \dfrac{1}{2} < - \dfrac{1}{{12}} + \dfrac{{2k}}{3} < 1 \Leftrightarrow - \dfrac{5}{{12}} < \dfrac{{2k}}{3} < \dfrac{{13}}{{12}} \Leftrightarrow - \dfrac{5}{8} < k < \dfrac{{13}}{8}\)

Mà \(k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k \in \left\{ {0;1} \right\}\).

+ \(k = 0 \Rightarrow x = - \dfrac{\pi }{{12}}\).

+ \(k = 1 \Rightarrow x = - \dfrac{\pi }{{12}} + \dfrac{{2\pi }}{3} = \dfrac{{7\pi }}{{12}}\).

Tổng các nghiệm của phương trình là \(\dfrac{{7\pi }}{{12}} - \dfrac{\pi }{{12}} = \dfrac{\pi }{{2}}\)

vậy \(2a=1\)

Đáp án cần điền là: 1

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.