Biết tồn tại số nguyên dương \(x,y\) và số nguyên tố \(p\) thỏa mãn\({p^x} -

Câu hỏi số 776435:

Vận dụng cao

Biết tồn tại số nguyên dương \(x,y\) và số nguyên tố \(p\) thỏa mãn\({p^x} - {y^4} = 4\). Khi đó giá trị của \(p\) bằng

Đáp án:

Đáp án đúng là: 5

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:776435

Phương pháp giải

Phân tích \({y^4} + 4\) thành nhân tử rồi sử dụng tính chất của số nguyên tố.

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}{p^x} - {y^4} = 4 \Leftrightarrow {p^x} = {y^4} + 4\\{p^x} = {\left( {{y^2} + 2} \right)^2} - 4{y^2}\\{p^x} = \left( {{y^2} - 2y + 2} \right)\left( {{y^2} + 2y + 2} \right)\end{array}\)

Xét \(y = 1 \Rightarrow {p^x} = 5\,\)\( \Rightarrow p = 5;x = 1\), ta tìm được bộ \(\left( {x;y;p} \right) = \left( {1;1;5} \right)\)

Xét \(y = 2 \Rightarrow {p^x} = 20 \Rightarrow \) loại do \(p\) nguyên tố.

Xét \(y = 3 \Rightarrow {p^x} = 85 \Rightarrow \) loại do \(p\) nguyên tố.

Xét \(y = 4 \Rightarrow {p^x} = 260 \Rightarrow \) loại do \(p\) nguyên tố.

Xét \(y = 5 \Rightarrow {p^x} = 629 \Rightarrow \) loại do \(p\) nguyên tố.

Xét \(y \ge 6\) suy ra:\({y^2} - 2y + 2 > 2\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{y^2} - 2y + 2 = {p^a}\,\,\,\left( 1 \right)\\{y^2} + 2y + 2 = {p^b}\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\), với \(a,b \in N;\)\(1 \le a < b;a + b = x\)

Do \(y \ge 6\)\( \Rightarrow {y^2} - 6y + 2 > 0\) và \(p \ge 2\).

Suy ra:\({p^a} < {p^b} = {y^2} + 2y + 2\) \( < \left( {{y^2} + 2y + 2} \right) + \left( {{y^2} - 6y + 2} \right)\)\( = 2\left( {{y^2} - 2y + 2} \right) < 2{p^a} \le {p^{a + 1}}\)

Hay: \({p^a} < {p^b} < {p^{a + 1}}\)\( \Leftrightarrow a < b < a + 1\), không tồn tại số tự nhiên \(b\) thỏa mãn.

Vậy giá trị cần tìm là: \(\left( {x;y;p} \right) = \left( {1;1;5} \right)\).

Đáp án cần điền là: 5

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.