Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm $M(2,1,1)$ và đường $d:\dfrac{x - 3}{1} =

Câu hỏi số 776675:

Vận dụng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm $M(2,1,1)$ và đường $d:\dfrac{x - 3}{1} = \dfrac{y - 3}{- 1} = \dfrac{z + 1}{- 2}$. Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $M$, song song với mặt phẳng $(Q):x - 2y + z - 3 = 0$ và tạo với $d$ góc nhỏ nhất. Gọi $A( - 8;a;b)$ là một điểm nằm trên đường thẳng $\Delta$. Tính giá trị $a + b$.

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:776675

Phương pháp giải

Gọi $(P)$ là mặt phẳng đi qua điểm $M\left( {2;1;1} \right)$ và song song với mặt phẳng $(Q)$.

Gọi $d'$ là đường thẳng đi qua $M(2,1,1)$ và song song với $d.$

Suy ra góc tạo bởi đường thẳng $d$ và đường thẳng $\text{Δ}$ bằng với góc tạo bởi đường thẳng $d'$ và đường thẳng $\text{Δ}.$

Giải chi tiết

Gọi $(P)$ là mặt phẳng đi qua điểm $M\left( {2;1;1} \right)$ và song song với mặt phẳng $(Q):x - 2y + z - 3 = 0$

$\left. \Rightarrow(P):x - 2y + z - 1 = 0. \right.$

Mà đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $M$, song song với mặt phẳng $(Q):x - 2y + z - 3 = 0$

Suy ra $\text{Δ} \in (P)$.

Gọi $d'$ là đường thẳng đi qua $M(2,1,1)$ và song song với $d:\dfrac{x - 3}{1} = \dfrac{y - 3}{- 1} = \dfrac{z + 1}{- 2}$

$\left. \Rightarrow d':\dfrac{x - 2}{1} = \dfrac{y - 1}{- 1} = \dfrac{z - 1}{- 2}. \right.$

Suy ra góc tạo bởi đường thẳng $d$ và đường thẳng $\text{Δ}$ bằng với góc tạo bởi đường thẳng $d'$ và đường thẳng $\text{Δ}.$

Xét điểm $N\left( {3;0; - 1} \right) \in d'$

Hạ $NK\bot\text{Δ}$ tại $K,~NP\bot mp(P)$ tại $\left. P\Rightarrow NP \leq NK. \right.$

Ta có: $\widehat{\left( {d,\bigtriangleup} \right)} = \widehat{\left( {d',\bigtriangleup} \right)} = \widehat{NMK}$ và $\widehat{\left( {d',(P)} \right)} = \widehat{NMP}.$

Lại có $\sin\widehat{NMP} = \dfrac{NP}{NM};\sin\widehat{NMK} = \dfrac{NK}{NM}$ mà $NP \leq NK$

$\left. \Rightarrow\sin\widehat{NMK} \geq \sin\widehat{NMP}\Rightarrow\widehat{NMK} \geq \widehat{NMP}\Rightarrow\widehat{\left( {d,\bigtriangleup} \right)} \geq \widehat{NMP}. \right.$

Dấu $ "=" $ xảy ra khi $K \equiv P$ nghĩa là đường thẳng $\text{Δ}$ là đường thẳng $MP$.

Xét đường thẳng $NP$ nhận $\overset{\rightarrow}{n_{P}} = \left( {1; - 2;1} \right)$ làm vtcp và đi qua điểm $N(3,0,-1)$

Suy ra phương trình đường thẳng $NP:\left\{ {\begin{matrix} {x = 3 + t} \\ {y = - 2t} \\ {z = - 1 + t} \end{matrix},t \in {\mathbb{R}}} \right.$

Có $\left. P = NP \cap (P)\Rightarrow 3 + t - 2\left( {- 2t} \right) + \left( {- 1 + t} \right) - 1 = 0\Rightarrow \right.$$\left. t = \dfrac{- 1}{6}\Rightarrow P\left( {\dfrac{17}{6};\dfrac{1}{3};\dfrac{- 7}{6}} \right). \right.$

Xét đường thẳng $\text{Δ}$ nhận $\overset{\rightarrow}{MP} = \left( {\dfrac{5}{6};\dfrac{- 4}{6};\dfrac{- 13}{6}} \right)//\left( {5; - 4; - 13} \right)$ làm vtcp và đi qua điểm $M(2,1,1)$

Suy ra phương trình đường thẳng $\bigtriangleup :\left\{ {\begin{matrix} {x = 2 + 5t} \\ {y = 1 - 4t} \\ {z = 1 - 13t} \end{matrix}.} \right.$

Có điểm $\left. A\left( {- 8;a;b} \right) \in \bigtriangleup \Rightarrow - 8 = 2 + 5t\Rightarrow t = - 2\Rightarrow A\left( {- 8;9;27} \right). \right.$

Suy ra $\left. a = 9;b = 27\Rightarrow a + b = 9 + 27 = 36. \right.$

Đáp án cần điền là: 36

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.