Trên sân vận động, người ta tổ chức một cuộc thi chạy thông minh. Sân vận

Câu hỏi số 776676:

Vận dụng

Trên sân vận động, người ta tổ chức một cuộc thi chạy thông minh. Sân vận động là hình chữ nhật ABCD có kích thước $AB = 100~\text{m}$ và $BC = 80~\text{m}$. Ở chính giữa sân người ta vẽ một hình tròn có tâm trùng với tâm của hình chữ nhật, bán kính bằng 25 m như hình vẽ. Lấy E là một vị trí trên cạnh AB sao cho $EB = 20~\text{m}$. Mỗi vận động viên cần xuất phát từ một điểm M trên đường tròn và chạy theo cung đường MDCBEMD. Vận động viên thắng cuộc là người chạy với quãng đường ngắn nhất. Tính độ dài quãng đường ngắn nhất vận động viên phải chạy (đơn vị m , kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:776676

Phương pháp giải

Gắn hệ tọa độ Oxy, xác định tọa độ các điểm, tính độ dài các đoạn thẳng.

Giải chi tiết

Độ dài quãng đường mà vận động viên phải chạy là

$s = MD + DC + CB + BE + EM + MD = 2MD + ME + 200$

Để quãng đường vận động viên chạy là ngắn nhất thì $(2MD + ME)$ là ngắn nhất.

Xét hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ, ta có $E\left( {30;40} \right),D\left( {- 50;-40} \right)$

Ta có $OE = \sqrt{30^{2} + 40^{2}} = 50 = 2R.$

Lấy điểm $G$ thuộc tia $OE$ sao cho $OG = \dfrac{1}{2}R.$

Khi đó xét $\text{Δ}OGM$ và $\text{Δ}OME$ có:

$\left. \left. \begin{matrix} {\widehat{EOM}\text{~chung}} \\ {\dfrac{OG}{OM} = \dfrac{OM}{OE} = \dfrac{1}{2}} \end{matrix} \right\}\Rightarrow \bigtriangleup OGM \sim \bigtriangleup OME\text{~(c-g-c)} \right.$

$\left. \Rightarrow\dfrac{MG}{ME} = \dfrac{OM}{OE} = \dfrac{1}{2}\Rightarrow ME = 2MG. \right.$

Khi đó $2MD + ME = 2MD + 2MG \geq 2DG.$

Dấu $" = "$ xảy ra khi $M = DG \cap \left( {O,25} \right).$

Ta có điểm $G$ thuộc tia $OE$ sao cho $OG = \dfrac{1}{2}R$

$\left. \Rightarrow\overset{\rightarrow}{OG} = \dfrac{1}{4}\overset{\rightarrow}{OE} = \left( {7,5;10} \right)\Rightarrow G\left( {7,5;10} \right). \right.$

$\Rightarrow$ $DG = \sqrt{\left( {- 50 - 7,5} \right)^{2} + \left( {- 40 - 10} \right)^{2}} = \dfrac{5\sqrt{929}}{2}.$

Suy ra $s \geq 2.\dfrac{5\sqrt{929}}{2} + 200 \approx 352\text{~(m)}\text{.}$

Đáp án cần điền là: 352

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.