Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với $AB = a,AD = a\sqrt{3}$. Hình chiếu vuông góc

Câu hỏi số 776773:

Vận dụng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với $AB = a,AD = a\sqrt{3}$. Hình chiếu vuông góc $H$ của $S$ trên mặt đáy trùng với trọng tâm tam giác ABC và $SH = \dfrac{a}{2}$. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh BC và SC. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai?

	Đúng	Sai
a) Khoảng cách từ $MN$ tới $SA$ bằng $\dfrac{3a\sqrt{7}}{14}$.
b) Tan góc giữa đường thẳng MN với mặt đáy $(ABCD)$ bằng $\dfrac{2}{3}$.

Đáp án đúng là: Đ; S

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:776773

Phương pháp giải

Sử dụng các mối quan hệ hình học đã biết kết hợp với cách xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng để tìm góc giữa MN với mặt đáy (ABCD).

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.

Giải chi tiết

1) Ta có: $\left. MN \middle| \middle| SB \right.$.

$\left. \Rightarrow d\left( {MN,SA} \right) = d\left( {MN,\left( {SAB} \right)} \right) = d\left( {M,\left( {SAB} \right)} \right) \right.$$= \dfrac{1}{2}d\left( {C,\left( {SAB} \right)} \right) = \dfrac{1}{2}d\left( {D,\left( {SAB} \right)} \right)$.

Ta có: $\left. BH = \dfrac{1}{3}BD\Rightarrow d\left( {D,\left( {SAB} \right)} \right) = 3d\left( {H,\left( {SAB} \right)} \right) \right.$.

Kẻ $\left. HK\bot AB;HI\bot SK\Rightarrow HI\bot\left( {SAB} \right) \right.$.

$HK = \dfrac{1}{3}AD = \dfrac{a\sqrt{3}}{3}$.

$\left. \dfrac{1}{HI^{2}} = \dfrac{1}{HK^{2}} + \dfrac{1}{SH^{2}} = \dfrac{3}{a^{2}} + \dfrac{4}{a^{2}} = \dfrac{7}{a^{2}}\Rightarrow HI = \dfrac{a\sqrt{7}}{7} \right.$.

$\left. \Rightarrow d\left( {MN,SA} \right) = \dfrac{1}{2}.3.HI = \dfrac{3}{2}.\dfrac{a\sqrt{7}}{7} = \dfrac{3a\sqrt{7}}{14} \right.$

2) Ta có: $\left. MN \middle| \middle| SB \right.$.

Nên $\left( {MN,(ABCD)} \right) = \left( {SB,(ABCD)} \right)$ .

Do SH ⊥ (ABCD) nên $\left( {MN,(ABCD)} \right) = \left( {SB,(ABCD)} \right) = \left( {SB,HB} \right) = \angle SBH$.

Ta có $BD = \sqrt{AB^{2} + AD^{2}} = 2a;BH = \dfrac{BD}{3} = \dfrac{2a}{3}\text{.~}$

Tam giác SHB, có $\tan\widehat{SBH} = \dfrac{SH}{BH} = \dfrac{3}{4}$ .

Đáp án cần chọn là: Đ; S

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.