Xét hàm số $f(t) = \dfrac{9^{t}}{9^{t} + m^{2}}$ với m là tham số thực. Gọi S là

Câu hỏi số 776781:

Vận dụng

Xét hàm số $f(t) = \dfrac{9^{t}}{9^{t} + m^{2}}$ với m là tham số thực. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của m sao cho $f(x) + f(y) = 1$ với mọi số thực x, y thỏa mãn $e^{x + y} \leq e\left( {x + y} \right)$. Tìm số phần tử của S.

A. Vô số

B. 2

C. 1

D. 0

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:776781

Phương pháp giải

Đặt t = x + y. Chứng minh $g(t) = e^{t - 1} - t \le 0$ nên $e^{t - 1} = t$ khi t = 1 suy ra $x+y=1$

Từ $x+y=1$ thay vào $f(x) + f(y) = 1$ tìm m

Giải chi tiết

Cách 1: Đặt $t = x + y$, theo giả thiết:

$\left. e^{t} \leq et\Rightarrow et > 0\Rightarrow t > 0 \right.$.

Ta có: $\left. e^{t} \leq et\Leftrightarrow e^{t - 1} \leq t\Leftrightarrow e^{t - 1} - t \leq 0 \right.$.

Xét hàm số $g(t) = e^{t - 1} - t$, với $t > 0$.

$\left. g'(t) = e^{t - 1} - 1;g'(t) = 0\Leftrightarrow e^{t - 1} = 1\Leftrightarrow t = 1 \right.$.

Bảng biến thiên:

Từ BBT ta có $e^{t - 1} - t \geq 0,\forall t > 0$.

Do đó: $\left. e^{t - 1} - t \leq 0\Leftrightarrow e^{t - 1} - t = 0\Leftrightarrow t = 1 \right.$.

Vậy $x + y = 1$.

Khi đó: $\left. f(x) + f(y) = 1\Leftrightarrow\dfrac{9^{x}}{9^{x} + m^{2}} + \dfrac{9^{y}}{9^{y} + m^{2}} = 1 \right.$

$\left. \Leftrightarrow\dfrac{9^{x}\left( {9^{y} + m^{2}} \right) + 9^{y}\left( {9^{x} + m^{2}} \right)}{\left( {9^{x} + m^{2}} \right)\left( {9^{y} + m^{2}} \right)} = 1 \right.$

$\left. \Leftrightarrow 9^{x + y} + m^{2}\left( {9^{x} + 9^{y}} \right) + 9^{x + y} = 9^{x + y} + m^{2}\left( {9^{x} + 9^{y}} \right) + m^{4} \right.$

$\left. \Leftrightarrow 9^{x + y} = m^{4}\Leftrightarrow m^{4} = 9^{1} = 9\Leftrightarrow m = \pm \sqrt{3} \right.$.

Vậy $S = \left\{ {\sqrt{3}; - \sqrt{3}} \right\}$, tập S có 2 phần tử.

Cách 2:

Sử dụng TABLE cho hàm số $f(X) = e^{X} - eX$ với START = ‒9, END = 9 , STEP = 1:

Nhìn các bảng trên, ta thấy

$f(x) = e^{x} - ex \geq 0,\forall x \in {\mathbb{R}}$ và $\left. f(x) = 0\Leftrightarrow x = 1 \right.$.

Khi đó $e^{x} \geq ex,\forall x \in {\mathbb{R}}$ và $e^{x + y} \geq e\left( {x + y} \right)$, $\forall x,y \in {\mathbb{R}}$.

Suy ra

$\left. e^{x + y} \leq e\left( {x + y} \right)\Leftrightarrow e^{x + y} = e\left( {x + y} \right)\Leftrightarrow x + y = 1 \right.$.

Từ đó

$\begin{array}{l} {f(x) + f(y) = f(x) + f\left( {1 - x} \right)} \\ {= \dfrac{9^{x}}{9^{x} + m^{2}} + \dfrac{9^{1 - x}}{9^{1 - x} + m^{2}}} \end{array}$

$= \dfrac{9^{x}}{9^{x} + m^{2}} + \dfrac{\dfrac{9}{9^{x}}}{\dfrac{9}{9^{x}} + m^{2}} = \dfrac{9^{x}}{9^{x} + m} + \dfrac{9}{9 + 9^{x}m^{2}}$.

Để $\left. f(x) + f(y) = 1\Leftrightarrow\dfrac{9^{x}}{9^{x} + m^{2}} + \dfrac{9}{9 + 9^{x}m^{2}} = 1 \right.$

$\left. \Leftrightarrow\dfrac{9^{x}}{9^{x} + m^{2}} = 1 - \dfrac{9}{9 + 9^{x}m^{2}} = \dfrac{9^{x}m^{2}}{9 + 9^{x}m^{2}} \right.$

$\left. \Leftrightarrow\dfrac{1}{9^{x} + m^{2}} = \dfrac{m^{2}}{9 + 9^{x}m^{2}}\Leftrightarrow 9 + 9^{x}m^{2} = m^{2}\left( {9^{x} + m^{2}} \right) \right.$

$\left. \Leftrightarrow m^{4} = 9\Leftrightarrow m = \pm \sqrt{3} \right.$.

Vậy $S = \left\{ {\sqrt{3}; - \sqrt{3}} \right\}$, tập S có 2 phần tử.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.