Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$. Hàm số $y=f^{\prime}(x)$ có bảng biến thiên như

Câu hỏi số 776884:

Vận dụng

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$. Hàm số $y=f^{\prime}(x)$ có bảng biến thiên như sau

Bất phương trình $f(x) \geq \sqrt{1 + x} - \sqrt{1 - x} + m$ có nghiệm khi và chỉ khi

A. $m \leq f(1) - \sqrt{2}$.

B. $m < f(1) - \sqrt{2}$.

C. $m \leq f( - 1) + \sqrt{2}$.

D. $m < f( - 1) + \sqrt{2}$.

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:776884

Phương pháp giải

Đưa về hàm số và khảo sát

Giải chi tiết

Bất phương trình $f(x) \geq \sqrt{1 + x} - \sqrt{1 - x} + m$ có nghiệm $\forall x \in \lbrack - 1;1\rbrack$

$\left. \Leftrightarrow f(x) - (\sqrt{1 + x} - \sqrt{1 - x}) \geq m\ \right.$ có nghiệm $\forall x \in \lbrack - 1;1\rbrack$

$m \leq \max_{\lbrack - 1;1\rbrack}g(x)$ (*)

Xét hàm số $g(x) = f(x) - (\sqrt{1 + x} - \sqrt{1 - x})$ trên đoạn $\lbrack - 1;1\rbrack$

Ta có $\left. g'(x) = f'(x) - \left( {\dfrac{1}{2\sqrt{1 + x}} + \dfrac{1}{2\sqrt{1 - x}}} \right) < 0\Rightarrow \right.$ hàm số $g(x)$ nghịch biến trên khoảng $( - 1;1)$

Vì $\left. \forall x \in \lbrack - 1;1\rbrack\Rightarrow f'(x) \leq 0 \right.$ và $\dfrac{1}{2\sqrt{1 + x}} + \dfrac{1}{2\sqrt{1 - x}} = \dfrac{1}{2}\left( \dfrac{\sqrt{1 - x} + \sqrt{1 + x}}{\sqrt{1 - x^{2}}} \right)$

Ta có : $\left. \forall x \in \lbrack - 1;1\rbrack\Rightarrow\left\{ \begin{array}{l} {\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 - x} \geq \sqrt{2}} \\ {\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 - x} \leq \sqrt{1^{2} + 1^{2}}\sqrt{1 + x + 1 - x} = 2} \end{array} \right. \right.$

$\left. \Rightarrow\dfrac{\sqrt{2}}{2} \leq \dfrac{1}{2}\left( \dfrac{\sqrt{1 - x} + \sqrt{1 + x}}{\sqrt{1 - x^{2}}} \right) \leq 1. \right.$

- Từ điều kiện (*), ta suy ra : $m \leq g( - 1) = f( - 1) + \sqrt{2}$.

$m \leq g( - 1) = f( - 1) + \sqrt{2}$.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.