Hình phẳng $(H)$ được giới hạn bởi đồ thị $(C)$ của hàm số đa thức bậc ba và parabol $(P)$

Câu hỏi số 779573:

Vận dụng

Hình phẳng $(H)$ được giới hạn bởi đồ thị $(C)$ của hàm số đa thức bậc ba và parabol $(P)$ có trục đối xứng vuông góc với trục hoành. Phần tô đậm như hình vẽ có diện tích bằng $\dfrac{a}{b}\left( {a,b \in {\mathbb{Z}};\left( {a,b} \right) = 1} \right)$. Giá trị của biểu thức $a - 3b$ bằng bao nhiêu?

Đáp án:

Đáp án đúng là: 1

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:779573

Phương pháp giải

Từ đồ thị xác định các hệ số từ đó tính diện tích bằng tích phân

Giải chi tiết

Gọi $(C):y = ax^{3} + bx^{2} + cx + d\left( {a \neq 0} \right)$

Do $(C)$ cắt trục $Oy$ tại điểm có tung độ bằng 2 nên $d = 2$

Vì $(C)$ đi qua 3 điểm $A\left( {- 1; - 2} \right),B\left( {1;0} \right)$ và $C\left( {2; - 2} \right)$ nên ta được hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} {- a + b - c = - 4} \\ {a + b + c = - 2} \\ {4a + 2b + c = - 2} \end{array} \right.$

$\left. \Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {a = 1} \\ {b = - 3.} \\ {c = 0} \end{array} \right. \right.$

Do đó $(C):y = x^{3} - 3x^{2} + 2$.

Gọi $(P):y = mx^{2} + nx + r\left( {m \neq 0} \right)$

Do $(P)$ đi qua 3 điểm $a\left( {- 1; - 2} \right),O\left( {0;0} \right)$ và $C\left( {2; - 2} \right)$ nên ta được $\left\{ \begin{array}{l} {m - n + r = - 2} \\ {r = 0} \\ {4m + 2n + r = - 2} \end{array}\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {m = - 1} \\ {r = 0} \\ {n = 1} \end{array} \right. \right.$.

Do đó $(P):y = - x^{2} + x$

Vậy $S_{(H)} = {\int\limits_{- 1}^{2}{\left| {x^{3} - 2x^{2} - x + 2} \right|\text{d}x}}\overset{MTCT}{=}\dfrac{37}{12}$.

$\left. \Rightarrow a = 37,b = 12\Rightarrow a - 3b = 1 \right.$.

Đáp án cần điền là: 1

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.