Cho khai triển $\left( {\dfrac{1}{\sqrt{2}} + 3} \right)^{n}.$ Khẳng định nào đúng trong

Câu hỏi số 779860:

Vận dụng

Cho khai triển $\left( {\dfrac{1}{\sqrt{2}} + 3} \right)^{n}.$

Khẳng định nào đúng trong các khẳng định sau?

Số các số hạng trong khai triển là n + 1

Với n = 4 thì có 4 số hạng hữu tỉ

Số nguyên lẻ trong khai triển là $3^n$

Tỉ số giữa số hạng thứ tư và thứ ba bằng $3\sqrt{2}$ thì n = 6

Đáp án đúng là: A; C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:779860

Phương pháp giải

Xét từng mệnh đề.

Giải chi tiết

a) Số các số hạng trong khai triển là n + 1

b) Với n = 4 thì $\left( {\dfrac{1}{\sqrt{2}} + 3} \right)^{4} = {\sum\limits_{k = 0}^{4}C_{4}^{k}}.3^{k}.\left( 2^{\dfrac{- 1}{2}} \right)^{4 - k}$

$= {\sum\limits_{k = 0}^{4}C_{4}^{k}}.3^{k}.2^{\dfrac{k - 4}{2}}$

Số hạng hữu tỉ khi và chỉ khi $\dfrac{k - 4}{2} \in {\mathbb{Z}}$ mà $- 4 \leq k - 4 \leq 0$

$\left. \Rightarrow k - 4 \in \left\{ 0; - 2; - 4 \right\}\Leftrightarrow k \in \left\{ 0;2;4 \right\} \right.$

Vậy có 3 số hạng hữu tỉ.

c) Số nguyên duy nhất trong khai triển nhị thức là 3ⁿ và đây là một số lẻ.

d) Ta có $\left( {\dfrac{1}{\sqrt{2}} + 3} \right)^{n} = \left( {3 + 2^{\dfrac{- 1}{2}}} \right)^{n} = {\sum\limits_{k = 0}^{n}C_{n}^{k}}.3^{k}.\left( 2^{\dfrac{- 1}{2}} \right)^{n - k}$

Bài ra thì $\left. \dfrac{C_{n}^{4}.3^{4}.\left( 2^{\dfrac{- 1}{2}} \right)^{n - 4}}{C_{n}^{3}.3^{3}.\left( 2^{\dfrac{- 1}{2}} \right)^{n - 3}} = 3\sqrt{2}\Rightarrow\dfrac{\dfrac{3.n!}{(n - 4)!.4!}}{\dfrac{n!}{(n - 3)!.3!}}.\left( 2^{\dfrac{- 1}{2}} \right)^{- 1} = 3\sqrt{2} \right.$

$\left. \Rightarrow\dfrac{3(n - 3)}{4}.\sqrt{2} = 3\sqrt{2}\Rightarrow n = 7 \right.$

Đáp án cần chọn là: A; C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.