Cho tam giác $ABC$ nhọn với$AB > AC$. Các đường cao $BM,~\,\, CN$ cắt nhau tại $H$.a) Chứng minh
Cho tam giác $ABC$ nhọn với$AB > AC$. Các đường cao $BM,~\,\, CN$ cắt nhau tại $H$.
a) Chứng minh tứ giác $AMHN$ nội tiếp
b) Gọi $D$ là giao điểm của $AH$ và $BC$. Chứng minh $DA$ phân giác của $\widehat{MDN}$
c) Đường thẳng qua $D$ và song song với $MN\,$ cắt $AB,\,\, CN$ lần lượt tại $I,\,\, J$. Chứng minh $D$ là
trung điểm $IJ$.
Quảng cáo
a) Chứng minh bốn điểm $A,\,\, M,\,\, H,\,\, N$ nằm trên đường tròn đường kính $AH$, từ đó kết luận tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh tứ giác $HDCM$ nội tiếp để suy ra $\widehat{HDM} = \widehat{HCM}$ (2 góc nội tiếp cùng chắn cung$HM$)
Chứng minh tứ giác $HDBN$ nội tiếp để suy ra $\widehat{NDH} = \widehat{NBH}$ (2 góc nội tiếp cùng chắn cung$HN$)
Mà $\widehat{HCM} = \widehat{NBH}$(cùng phụ với$\widehat{BAC}$)
Suy ra $\widehat{HDM} = \widehat{HDN}$. Từ đó kết luận $AD$ là phân giác của góc $\widehat{MDN}$(đpcm).
c) Chứng minh tam giác $DNJ$ cân tại $D$ (tam giác có 2 góc ở đáy bằng nhau)
Suy ra $DN = DJ$ (tính chất tam giác cân) (1)
Chứng minh tam giác $\Delta NID$ cân tại $D$ (tam giác có 2 góc ở đáy bằng nhau)
Suy ra $DN = DI$ (tính chất tam giác cân) (2)
Từ (1) và (2) suy ra $DI = DJ = DN$
a)
Các đường cao $BM,~\,\, CN$ cắt nhau tại$H$nên ta có $\Delta ANH,\,\,\Delta AMH$ vuông tại $N,\,\, M$
Xét $\Delta ANH$ có $\widehat{ANH} = 90{^\circ}$ nên ba điểm $A,\mspace{6mu} N,\mspace{6mu} H$ nằm trên đường tròn đường kính $AH$
Xét $\Delta AMH$ có $\widehat{AMH} = 90{^\circ}$ nên ba điểm $A,\mspace{6mu} M,\mspace{6mu} H$ nằm trên đường tròn đường kính $AH$
Khi đó bốn điểm $A,\,\, M,\,\, H,\,\, N$ nằm trên đường tròn đường kính $AH$
Vậy tứ giác $AMHN$ nội tiếp đường tròn đường kính$AH$.
b)
Có $\widehat{HMC} = \widehat{HDC} = 90{^\circ}$
Xét $\Delta HMC$ có $\widehat{HMC} = 90{^\circ}$ nên ba điểm $C,\,\, M,\,\, H$ nằm trên đường tròn đường kính $CH$
Xét $\Delta CDH$có $\widehat{HDC} = 90{^\circ}$ nên ba điểm $C,\,\, D,\,\, H$ nằm trên đường tròn đường kính $CH$
Khi đó bốn điểm $D,\,\, C,\,\, M,\,\, H$ nằm trên đường tròn đường kính $CH$
Suy ra tứ giác $HDCM$ nội tiếp
Suy ra $\widehat{HDM} = \widehat{HCM}$ (2 góc nội tiếp cùng chắn cung$HM$)
Có $\widehat{HDB} = \widehat{HNB} = 90{^\circ}\ $
Xét $\Delta HDB$ có $\widehat{HDB} = 90{^\circ}$ nên ba điểm $B,\,\, D,\,\, H$ nằm trên đường tròn đường kính $BH$
Xét $\Delta HNB$ có $\widehat{HNB} = 90{^\circ}$ nên ba điểm $B,\,\, N,\,\, H$ nằm trên đường tròn đường kính $BH$
Khi đó bốn điểm $D,\,\, B,\,\, N,\,\, H$ nằm trên đường tròn đường kính $BH$
Suy ra tứ giác $HDBN$ nội tiếp nên $\widehat{NDH} = \widehat{NBH}$ (2 góc nội tiếp cùng chắn cung$HN$)
Mà $\widehat{HCM} = \widehat{NBH}$(cùng phụ với$\widehat{BAC}$)
Suy ra $\widehat{HDM} = \widehat{HDN}$ Suy ra $AD$ là phân giác của góc $\widehat{MDN}$(đpcm).
c)
Có $\widehat{BMC} = \widehat{CNB} = 90{^\circ}\ $
Xét $\Delta MCB$ có $\widehat{BMC} = 90{^\circ}$ nên ba điểm $B,\,\, M,\,\, C$ nằm trên đường tròn đường kính $BC$
Xét $\Delta BNC$ có $\widehat{BNC} = 90{^\circ}$ nên ba điểm $B,\,\, N,\,\, C$ nằm trên đường tròn đường kính $BC$
Khi đó bốn điểm $C,\,\, B,\,\, N,\,\, M$ nằm trên đường tròn đường kính $BC$
Suy ra tứ giác $BCMN$ nội tiếp
Suy ra $\widehat{HNM} = \widehat{HBD}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn một cung $CM$)
Tứ giác $HDBN$ nội tiếp nên $\widehat{HBD} = \widehat{HND}$( hai góc nội tiếp cùng chắn một cung $HD$)
Suy ra $\widehat{HNM} = \widehat{HND}$
Ta có $IJ\,\text{//}\, MN\,\,\left( {gt} \right)$ Suy ra $\widehat{HNM} = \widehat{HJI} = \widehat{HJD}$ (Hai góc so le trong bằng nhau)
Suy ra $\widehat{HND} = \widehat{HJD}$
Nên tam giác $DNJ$ cân tại $D$ (tam giác có 2 góc ở đáy bằng nhau)
Suy ra $DN = DJ$ (tính chất tam giác cân) (1)
Vì $\widehat{HND} = \widehat{HJD}$ (chứng minh trên)
Mà $\widehat{HND} + \widehat{DNI} = \widehat{HNI} = 90{^\circ}$ và $\widehat{HJD} + \widehat{NID} = 90{^\circ}$( do $\Delta JNI$ vuông tại $N$)
Suy ra $\widehat{DNI} = \widehat{NID}$
Tam giác $\Delta NID$ cân tại $D$ (tam giác có 2 góc ở đáy bằng nhau)
Suy ra $DN = DI$ (tính chất tam giác cân) (2)
Từ (1) và (2) suy ra $DI = DJ = DN$
Vậy $D$ là trung điểm $IJ$
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
