Trong một cuộc thi sáng tạo các chủ đề liên quan đến Kỷ niệm 50 năm ngày miền Nam hoàn toàn

Câu hỏi số 790009:

Vận dụng

Trong một cuộc thi sáng tạo các chủ đề liên quan đến Kỷ niệm 50 năm ngày miền Nam hoàn toàn giải phóng, tại hệ thống trường Nguyễn Khuyến, Lê Thánh Tông, một em học sinh đến từ lớp 12B1 đã đạt giải đặc biệt với một thiết kế vô cùng độc đáo. Em học sinh này đã thiết kế bề mặt của một chiếc đồng hồ treo tường bằng sự kết hợp giữa lịch sử, mỹ thuật và toán học.

- Phần trong của mặt đồng hồ là hình vuông có cạnh bằng 2 dm, nơi đây lưu giữ hình ảnh của chiếc xe tăng 390 của bộ đội Việt Nam tiến vào dinh độc lập.

- Phần ngoài của mặt đồng hồ là đường tròn có bán kính bằng 2 dm.

- Đường cong trung gian có tên $(L)$ là tập hợp tất cả điểm $P$ sao cho nếu kẻ tia $Ot$ bất kỳ cắt hình vuông và đường tròn lần lượt tại $M,N$ thì $P$ là trung điểm $MN$ ($O$ là tâm đường tròn). Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong $(L)$ theo đơn vị $dm^{2}$ và làm tròn đến hàng phần trăm.

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:790009

Phương pháp giải

Xác định phương trình đường cong $(L)$ chứa điểm P từ đó tính diện tích bằng tích phân.

Giải chi tiết

Xét hình vẽ sau với $O$ là tâm hình vuông và tia $Ox$ đi qua trung điểm $H$ của một cạnh hình vuông, gọi $\varphi$ là góc hợp bởi tia $Ox$ và tia $Ot$ với $\varphi \in \left\lbrack {0;\dfrac{\pi}{4}} \right\rbrack$.

Ta có $\left. M\left( {1,\tan\varphi} \right);N\left( {2\cos\varphi,2\sin\varphi} \right)\Rightarrow P\left( {\dfrac{1 + 2\cos\varphi}{2};\dfrac{\tan\varphi + 2\sin\varphi}{2}} \right) \right.$

Đặt $\left. x = \dfrac{1 + 2\cos\varphi}{2}\Leftrightarrow\cos\varphi = \dfrac{2x - 1}{2} \right.$. Với $\varphi \in \left\lbrack {0;\dfrac{\pi}{4}} \right\rbrack$ thì $x \in \left( {\dfrac{1 + \sqrt{2}}{2};\dfrac{3}{2}} \right)$

$\left. \Rightarrow\dfrac{\tan\varphi + 2\sin\varphi}{2} = \dfrac{\sin\varphi + 2\sin\varphi.\cos\varphi}{2\cos\varphi} = \dfrac{\sin\varphi.2x}{2x - 1} = \dfrac{2x}{2x - 1}.\sqrt{1 - \left( \dfrac{2x - 1}{2} \right)^{2}} \right.$

Vậy P luôn thuộc đường cong $y = \dfrac{2x}{2x - 1}.\sqrt{1 - \left( \dfrac{2x - 1}{2} \right)^{2}}$ với $x \in \left( {\dfrac{1 + \sqrt{2}}{2};\dfrac{3}{2}} \right)$

Vậy diện tích của đường cong $(L)$ là: $S = 8\left\lbrack {{\int\limits_{0}^{\dfrac{1 + \sqrt{2}}{2}}x}dx + {\int\limits_{\dfrac{1 + \sqrt{2}}{2}}^{\dfrac{3}{2}}{\dfrac{2x}{2x - 1}.\sqrt{1 - \left( \dfrac{2x - 1}{2} \right)^{2}}}}dx} \right\rbrack \approx 7,67$

Đáp án cần điền là: 7,67

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.