Số nghiệm của phương trình $\text{sin}x.\text{cos}x.\left( {1 + \text{tan}x} \right).\left( {1 + \text{cot}x}

Câu hỏi số 799568:

Thông hiểu

Số nghiệm của phương trình $\text{sin}x.\text{cos}x.\left( {1 + \text{tan}x} \right).\left( {1 + \text{cot}x} \right) = 1$ thuộc $\left\lbrack {0;2\pi} \right\rbrack$ là

A. $0$

B. $1$

C. $5$

D. $3$

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:799568

Phương pháp giải

Biến đổi, đưa về dạng phương trình lượng giác cơ bản.

Giải chi tiết

Điều kiện xác định: $\left. \left\{ \begin{array}{l} {\sin x \neq 0} \\ {\cos x \neq 0} \end{array} \right.\Leftrightarrow x \neq m\dfrac{\pi}{2};m \in {\mathbb{Z}}. \right.$

Ta có: $\left. \text{sin}x.\text{cos}x.\left( {1 + \text{tan}x} \right).\left( {1 + \text{cot}x} \right) = 1\Leftrightarrow\text{sin}x.\text{cos}x.\left( {1 + \dfrac{\sin x}{\cos x}} \right).\left( {1 + \dfrac{\cos x}{\sin x}} \right) = 1 \right.$

$\left. \Leftrightarrow\left( {\cos x + \sin x} \right)\left( {\sin x + \cos x} \right) = 1\Leftrightarrow\left( {\cos x + \sin x} \right)^{2} = 1 \right.$

$\left. \Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {\sin x + \cos x = 1} \\ {\sin x + \cos x = - 1} \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {\sqrt{2}\sin\left( {x + \dfrac{\pi}{4}} \right) = 1} \\ {\sqrt{2}\sin\left( {x + \dfrac{\pi}{4}} \right) = - 1} \end{array} \right. \right.$

+ Với $\left. \sqrt{2}\sin\left( {x + \dfrac{\pi}{4}} \right) = 1\Leftrightarrow\sin\left( {x + \dfrac{\pi}{4}} \right) = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \sin\dfrac{\pi}{4} \right.$

$\left. \Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {x + \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\pi}{4} + k2\pi} \\ {x + \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{3\pi}{4} + k2\pi} \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {x = k2\pi} \\ {x = \dfrac{\pi}{2} + k2\pi} \end{array} \right. \right.$

Do $x \in \left\lbrack {0;2\pi} \right\rbrack$ nên với $\left. x = k2\pi\Rightarrow x \in \left\{ {0;2\pi} \right\} \right.$, $\left. x = \dfrac{\pi}{2} + k2\pi\Rightarrow x \in \left\{ \dfrac{\pi}{2} \right\} \right.$

+ Với $\left. \sqrt{2}\sin\left( {x + \dfrac{\pi}{4}} \right) = - 1\Leftrightarrow\sin\left( {x + \dfrac{\pi}{4}} \right) = - \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \sin\left( {- \dfrac{\pi}{4}} \right) \right.$

$\left. \Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {x + \dfrac{\pi}{4} = - \dfrac{\pi}{4} + k2\pi} \\ {x + \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{5\pi}{4} + k2\pi} \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {x = - \dfrac{\pi}{2} + k2\pi} \\ {x = \pi + k2\pi} \end{array} \right. \right.$

Do $x \in \left\lbrack {0;2\pi} \right\rbrack$ nên với $\left. x = - \dfrac{\pi}{2} + k2\pi\Rightarrow x \in \left\{ \dfrac{3\pi}{2} \right\} \right.$, $\left. x = \pi + k2\pi\Rightarrow x \in \left\{ \pi \right\} \right.$

Đối chiếu với điều kiện xác định thì phương trình vô nghiệm.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.