Hình dưới mô tả một cái ao có hình ABCDE, ở giữa ao có một mảnh vườn hình tròn có bán kính

Câu hỏi số 804510:

Vận dụng

Hình dưới mô tả một cái ao có hình ABCDE, ở giữa ao có một mảnh vườn hình tròn có bán kính 15 m. Biết rằng:

1. Hai bờ AE và BC nằm trên hai đường thẳng vuông góc với nhau, hai đường thẳng này cắt nhau tại điểm O;

2. Bờ AB là một phần của một parabol có đỉnh là điểm A và có trục đối xứng là đường thẳng OA;

3. Độ dài đoạn OA và OB lần lượt là 40 m và 20 m;

4. Tâm I của mảnh vườn lần lượt cách đường thẳng AE và BC lần lượt 40 m và 30 m.

Người ta muốn bắc một cây cầu từ bờ AB của ao đến vườn. Hỏi độ dài ngắn nhất của cây cầu đó là bao nhiêu mét? (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:804510

Phương pháp giải

Gắn hệ trục toạ độ Oxy, xác định parabol. Gọi M thuộc (P) là điểm xây cầu.

Khi đó độ dài cây cầu là $d = MI - R$ ta đi tìm GTNN của hàm số

Giải chi tiết

Chọn hệ trục tọa độ Oxy với gốc O , chiều dương trục hoành là tia OC , chiều dương trục tung là tia OE , đơn vị hai trục là đơn vị độ dài $(1~\text{m})$.

Khi đó ta có phương trình parabol là: $y = ax^{2} + c$ đi qua $A\left( {0;40} \right);B\left( {20,0} \right)$, đối xứng qua Oy nên $y = \dfrac{- 1}{10}x^{2} + 40$ và phương trình đường tròn tâm $I(40;30)$, bán kính $R = 15$

Xét điểm $M\left( {a;\dfrac{- 1}{10}a^{2} + 40} \right)$ với $0 \leq a \leq 20$ nằm trên parabol thì khoảng cách từ đường tròn đến parabol là

$d = MI - R = \sqrt{\left( {40 - a} \right)^{2} + \left( {\dfrac{- 1}{10}a^{2} + 10} \right)^{2}} - 15$

Đặt $f(a) = \left( {40 - a} \right)^{2} + \left( {\dfrac{- 1}{10}a^{2} + 10} \right)^{2}$ với $0 \leq a \leq 20$

$\left. \Rightarrow f'(a) = - 2\left( {40 - a} \right) + 2\left( {- \dfrac{a^{2}}{10} + 10} \right).\left( {- \dfrac{2a}{10}} \right) = 0\Leftrightarrow a = 13,91768 \right.$

Do $f(0) = 1700;f(20) = 1300;f\left( {13,91768} \right) = 768,09$

$\left. \Rightarrow d_{\min} = \sqrt{768,09} - 15 \approx 12,7 \right.$

Đáp án cần điền là: 12,7

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.