Cho miền hình phẳng $(H)$ được giới hạn bởi các cạnh BC, CD của hình chữ

Câu hỏi số 807270:

Vận dụng

Cho miền hình phẳng $(H)$ được giới hạn bởi các cạnh BC, CD của hình chữ nhật và các cung phần tư của đường elip $(E)$ và đường tròn $(C)$ (phần gạch chéo ở hình bên). Biết $(C)$ có bán kính bằng 12 cm với tâm là trung điểm của cạnh AD và $(E)$ là elip có hai tiêu điểm $H$ và $K$ cách nhau $6\sqrt{7}~\text{cm}$. Một vật trang trí có dạng một khối tròn xoay được tạo thành khi miền $(H)$ quay quanh trục BC. Tính thể tích của khối tròn xoay đó (đơn vị cm^3, làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:807270

Phương pháp giải

Gắn hệ trục toạ độ Oxyz vào hình vuông với gốc O trùng với trung điểm của cạnh BC.

Viết phương trình Elip và đường tròn từ đó áp dụng công thức tính thể tích vật thể $V = \pi.{\int\limits_{a}^{b}\left\lbrack {f(x)} \right\rbrack^{2}}dx$

Giải chi tiết

Tiến hành gắn hệ trục tọa độ Oxy vào hình vuông, với gốc O trùng với trung điểm của cạnh BC, trục Ox hướng theo vectơ $\overset{\rightarrow}{BC}$, trục Oy hướng theo vectơ $\overset{\rightarrow}{BA}$, đơn vị dài trên mỗi trục bằng 1 cm .

Phương trình đường elip có dạng $(E):\dfrac{x^{2}}{a^{2}} + \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1$.

Với: $\left. a = 12,c = \dfrac{HK}{2} = 3\sqrt{7} = \sqrt{a^{2} - b^{2}}\Rightarrow b = \sqrt{a^{2} - {(3\sqrt{7})}^{2}} = 9 \right.$.

Suy ra $\left. (E):\dfrac{x^{2}}{144} + \dfrac{y^{2}}{81} = 1\Rightarrow y = \pm 9\sqrt{1 - \dfrac{x^{2}}{144}} \right.$.

Cung elip trên hình vẽ có $0 \leq y \leq 9$, suy ra phương trình của nó là: $y = 9\sqrt{1 - \dfrac{x^{2}}{144}} = g(x)$.

Phương trình đường tròn $(C)$ là $\left. x^{2} + {(y - 21)}^{2} = 12^{2}\Rightarrow y = 21 \pm \sqrt{12^{2} - x^{2}} \right.$.

Cung tròn trên hình vẽ có $9 \leq y \leq 21$, suy ra phương trình của nó là: $y = 21 - \sqrt{144 - x^{2}} = f(x)$.

Thể tích vật thể:

$V_{(H)} = \pi{\int\limits_{- 12}^{0}\left\lbrack {g(x)} \right\rbrack^{2}}dx + \pi{\int\limits_{0}^{12}\left\lbrack {f(x)} \right\rbrack^{2}}dx$

$= \pi{\int_{- 12}^{0}\left\lbrack {9\sqrt{1 - \dfrac{x^{2}}{144}}} \right\rbrack^{2}}dx + \pi{\int_{0}^{12}\left\lbrack {21 - \sqrt{144 - x^{2}}} \right\rbrack^{2}}dx \approx 7357$ cm³

Đáp án cần điền là: 7357

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.