Trong một lớp có \(n\) học sinh gồm ba bạn An, Bình, Cường cùng \(n-3\) học sinh

Câu hỏi số 807714:

Vận dụng cao

Trong một lớp có \(n\) học sinh gồm ba bạn An, Bình, Cường cùng \(n-3\) học sinh khác. Khi sắp xếp tùy ý cho các học sinh này vào dãy ghế được đánh số từ \(1\) đến \(n\) mỗi học sinh ngồi \(1\) ghế thì xác suất để số ghế của Bình bằng trung bình cộng số ghế của An và số ghế của Cường là \(\dfrac{13}{675}\). Khi đó giá trị \(n\) thỏa mãn bài toán bằng bao nhiêu?

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:807714

Phương pháp giải

Dựa vào các quy tắc đếm cơ bản để tìm xác suất và chia thành các trường hợp

Giải chi tiết

Số phần tử không gian mẫu là \(n\left( \Omega \right)=n!\).

Gọi \(A\) là biến cố “ số ghế của Hà bằng trung bình cộng số ghế của An và Cường ” Số ghế của Bình bằng trung bình cộng số ghế của An và Cường nên số ghế của An và Cường phải cùng chẵn hoặc cùng lẻ.

TH1: Với \(n=2m,\,\,\,m\in \mathbb{N},\,\,\,m\ge 2\).

- Chọn hai số chẵn hoặc hai số lẻ của An và Cường có \(A_{m}^{2}+A_{m}^{2}=2.A_{m}^{2}\) cách

- Chọn số ghế cho Bình có \(1\) cách - Xếp \(n-3\) bạn còn lại có \(\left( n-3 \right)!=\left( 2m-3 \right)!\) cách

Số kết quả thuận lợi của \(A\) là \(n\left( A \right)=2.A_{2m}^{2}.\left( 2m-3 \right)!\)

Vậy xác suất \(P=\dfrac{n\left( A \right)}{n\left( \Omega \right)}\Leftrightarrow \dfrac{2.A_{2m}^{2}\left( 2m-3 \right)!}{\left( 2m \right)!}=\dfrac{13}{675}\Leftrightarrow \dfrac{2}{2m-2}=\dfrac{13}{675}\Leftrightarrow m=\dfrac{688}{13}\) (loại).

TH2: Với \(n=2m+1,\,\,\,m\in \mathbb{N},\,\,\,m\ge 1\).

- Chọn hai số chẵn hoặc hai số lẻ của An và Cường có \(A_{m}^{2}+A_{m+1}^{2}=2{{m}^{2}}\) cách

-Chọn số ghế cho Bình có \(1\) cách

- Xếp \(n-3\) bạn còn lại có \(\left( n-3 \right)!=\left( 2m-2 \right)!\) cách Số kết quả thuận lợi của \(A\) là \(n\left( A \right)=2{{m}^{2}}.\left( 2m-2 \right)!\)

Vậy xác suất \(P=\dfrac{n\left( A \right)}{n\left( \Omega \right)}\Leftrightarrow \dfrac{2{{m}^{2}}\left( 2m-2 \right)!}{\left( 2m+1 \right)!}=\dfrac{13}{675}\Leftrightarrow \dfrac{m}{4{{m}^{2}}-1}=\dfrac{13}{675}\Rightarrow m=13\).

Vậy \(n=27\).

Đáp án cần điền là: 27

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.