Tel: 024.7300.7989 - Phone: 1800.6947 (Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)

Giỏ hàng của tôi
Trang chủ
Luyện thi đại học môn toán

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz (với đơn vị đo trên các trục tọa độ

Câu hỏi số 808075:
Vận dụng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz (với đơn vị đo trên các trục tọa độ là mét). Một tàu ngầm xuất phát từ \(A\left( {50, - 20,10} \right)\)đang di chuyển dưới biển sâu với hướng di chuyển cùng hướng với \(\overrightarrow u \left( {a,b,c} \right)\). Hải quân phát hiện một khu vực nguy hiểm, khu vực này có dạng hình cầu \((S)\) với tâm \(C(200; - 300;60)\) và bán kính \(R = 300\)m. Biết \(\left| {\overrightarrow u } \right| = 1\) và góc giữa vecto \(\overrightarrow u \) và các vecto \(\overrightarrow i ,\overrightarrow j ,\overrightarrow k \) lần lượt là \({60^0};{120^0};{45^0}\).

Đúng Sai
a) Vectơ chỉ phương của đường di chuyển của tàu ngầm vuông góc với \(\overrightarrow {OC} \), với \(O\) là gốc tọa độ.
b) Đường di chuyển tàu ngầm nằm trong mặt phẳng \((P):x + y = 30\).
c) Khoảng cách ngắn nhất từ C đến đường đi chuyển của tàu ngầm luôn lớn hơn 280m
d) Biết tàu ngầm di chuyển với vận tốc 5m/s. Sau 5 phút tàu ngầm ở vị trí có tạo độ là E. Khi đó hoành độ của E là 800.

Đáp án đúng là: S; Đ; S; Đ

Quảng cáo

Xem lời giải
Câu hỏi:808075
Phương pháp giải

a) Giải phương trình \(\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow i } \right);\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow j } \right);\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow k } \right)\) để tìm a,b,c từ đó tính \(\overrightarrow {OC} .\overrightarrow u \) để kiểm tra vuông góc

b) Viết phương trình đường thẳng di chuyển của tàu ngầm. Lấy điểm B bất kì thuộc đường thẳng thì kiểm tra B có nằm trong (P) không

c) Áp dụng công thức tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng

d) Từ \(AE\) bằng công thức quãng đường = vận tốc nhân thời gian tìm toạ độ E.

Giải chi tiết

a) Sai. Ta có \(\overrightarrow i \left( {1,0,0} \right);\overrightarrow j  = \left( {0,1,0} \right);\overrightarrow k  = \left( {0,0,1} \right)\)

Do góc giữa vecto \(\overrightarrow u \) và các vecto \(\overrightarrow i ,\overrightarrow j ,\overrightarrow k \) lần lượt là \({60^0};{120^0};{45^0}\) nên ta có

\(\left\{ \begin{array}{l}\cos {60^0} = \dfrac{{a.1}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .1}} = \dfrac{a}{1}\\\cos {120^0} = \dfrac{{b.1}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .1}} = \dfrac{b}{1}\\\cos {45^0} = \dfrac{{c.1}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .1}} = \dfrac{c}{1}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{1}{2}\\b =  - \dfrac{1}{2}\\c = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\end{array} \right.\). Vậy \(\overrightarrow u \left( {\dfrac{1}{2}; - \dfrac{1}{2};\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)\)

Ta có \(\overrightarrow {OC}  = (200; - 300;60) \Rightarrow \overrightarrow {OC} .\overrightarrow u  = 200.\dfrac{1}{2} - 300.\left( { - \dfrac{1}{2}} \right) + 60.\dfrac{{\sqrt 2 }}{2} \ne 0\) nên vectơ chỉ phương của đường di chuyển của tàu ngầm không vuông góc với \(\overrightarrow {OC} \).

b) Đúng. Đường di chuyển của tàu ngầm qua \(A\left( {50, - 20,10} \right)\) và có một VTCP là \(\overrightarrow u \left( {\dfrac{1}{2}; - \dfrac{1}{2};\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)\) nên có phương trình \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 50 + \dfrac{1}{2}t\\y =  - 20 - \dfrac{1}{2}t\\z = 10 + \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}t\end{array} \right.\).

 Khi đó với mọi \(B\left( {50 + \dfrac{1}{2}t; - 20 - \dfrac{1}{2}t;10 - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}t} \right) \in \Delta \) thì \(1\left( {50 + \dfrac{1}{2}t} \right) + 1.\left( { - 20 - \dfrac{1}{2}t} \right) + 0.\left( {10 + \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}t} \right) = 30\) nên đường di chuyển tàu ngầm luôn nằm trong mặt phẳng \((P):x + y = 30\).

c) Đúng. Ta có \(\overrightarrow {AC}  = \left( {150; - 280;50} \right) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow u } \right] = \left( { - 140\sqrt 2  + 25;25 - 75\sqrt 2 ;65} \right)\)

\( \Rightarrow d\left( {C,\Delta } \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow u } \right]} \right|}}{{\left| u \right|}} \approx 201,8 < 280\)

d) Đúng. Gọi \(E\left( {50 + \dfrac{1}{2}t; - 20 - \dfrac{1}{2}t;10 - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}t} \right) \in \Delta \) với \(t > 0\) là điểm mà tàu ngầm di chuyển được 5 phút từ A.

Khi đó

\(\begin{array}{l}AE = 5.5.60\\ \Leftrightarrow A{E^2} = {1500^2}\\ \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{1}{2}t} \right)^2} + {\left( { - \dfrac{1}{2}t} \right)^2} + {\left( {\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} = {1500^2}\\ \Leftrightarrow t = 1500\end{array}\)

Vậy hoành độ điểm E là \(50 + \dfrac{{1500}}{2} = 800\)

Đáp án cần chọn là: S; Đ; S; Đ

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>>  2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.

Hỗ trợ - Hướng dẫn

  • 024.7300.7989
  • 1800.6947 free

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com

Đăng ký nhận tư vấn