Chứng minh biểu thức \(P=\dfrac{\sin ^4 x+3 \cos ^4 x-1}{\sin ^6 x+\cos ^6 x+3 \cos ^4 x-1}\) không phụ

Câu hỏi số 818575:

Vận dụng

Chứng minh biểu thức \(P=\dfrac{\sin ^4 x+3 \cos ^4 x-1}{\sin ^6 x+\cos ^6 x+3 \cos ^4 x-1}\) không phụ thuộc vào \(x\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:818575

Phương pháp giải

Sử dụng các công thức lượng giác:
\(\sin ^2 x+\cos ^2 x=1\)
\(\sin ^4 x+\cos ^4 x=\left(\sin ^2 x+\cos ^2 x\right)^2-2 \sin ^2 x \cos ^2 x=1-2 \sin ^2 x \cos ^2 x\)
\(\sin ^6 x+\cos ^6 x=\left(\sin ^2 x+\cos ^2 x\right)\left(\sin ^4 x-\sin ^2 x \cos ^2 x+\cos ^4 x\right) \)
\(\cos ^2 x-\sin ^2 x=\cos 2x\)

Giải chi tiết

Ta có:
\(P=\dfrac{\sin ^4 x+3 \cos ^4 x-1}{\sin ^6 x+\cos ^6 x+3 \cos ^4 x-1} \)
\(=\dfrac{\left(\sin ^2 x+\cos ^2 x\right)^2-2 \sin ^2 x \cos ^2 x+2 \cos ^4 x-1}{\left(\sin ^2 x+\cos ^2 x\right)\left(\sin ^4 x-\sin ^2 x \cdot \cos ^2 x+\cos ^4 x\right)+3 \cos ^4 x-1} \)
\(=\dfrac{-2 \sin ^2 x \cos ^2 x+2 \cos ^4 x}{\sin ^4 x-\sin ^2 x \cdot \cos ^2 x+\cos ^4 x+3 \cos ^4 x-1} \)
\(=\dfrac{2 \cos ^2 x \cdot\left(\cos ^2 x-\sin ^2 x\right)}{\left(\sin ^2 x+\cos ^2 x\right)^2-3 \sin ^2 x \cos ^2 x+3 \cos ^4 x-1} \)
\(=\dfrac{2 \cos ^2 x \cdot\left(\cos ^2 x-\sin ^2 x\right)}{-3 \sin ^2 x \cos ^2 x+3 \cos ^4 x}\)
\(=\dfrac{2 \cos ^2 x \cdot\left(\cos ^2 x-\sin ^2 x\right)}{3 \cos ^2 x \cdot\left(\cos ^2 x-\sin ^2 x\right)}=\dfrac{2}{3}\).

Vậy P không phụ thuộc vào \(x\).

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.