Cho hình hộp \(A B C D \cdot A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}\), gọi \(G_1\), \(G_2\) là

Câu hỏi số 818576:

Vận dụng

Cho hình hộp \(A B C D \cdot A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}\), gọi \(G_1\), \(G_2\) là trọng tâm của các tam giác \(A^{\prime} B D, B^{\prime} D^{\prime} C\)
a) Chứng minh rằng: \(\left(A^{\prime} B D\right) / /\left(B^{\prime} D^{\prime} C\right)\).
b) Chứng minh rằng \(G_1, G_2\) cùng thuộc \(A C^{\prime}\) và chia \(A C^{\prime}\) thành ba đoạn bằng nhau.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:818576

Phương pháp giải

Dùng tính chất hình hộp (các mặt đối diện là hình bình hành) để suy các cặp đường thẳng song song.
Dùng tính chất trọng tâm (trọng tâm chia trung tuyến theo tỉ lệ \(2:1\)) để xác định vị trí \(G_1, G_2\) trên đoạn chéo \(A C^{\prime}\).

Giải chi tiết

a) \(A^{\prime} D^{\prime} C B\) là hình bình hành suy ra \(A^{\prime} B / / C D^{\prime} \Rightarrow A^{\prime} B / /\left(B^{\prime} D^{\prime} C\right)\). (1)
Tương tự, ta có: \(\left\{\begin{array}{l}A^{\prime} B^{\prime} / / C D \\ A^{\prime} B^{\prime}=C D\end{array} \Rightarrow A^{\prime} B^{\prime} C D\right.\) là hình bình hành.
Suy ra \(A^{\prime} D / / B^{\prime} C \Rightarrow A^{\prime} D / /\left(B^{\prime} D^{\prime} C\right)\).(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\left(A^{\prime} B D\right) / /\left(B^{\prime} D^{\prime} C\right)\).
b) Ta có \(G_1\) là trọng tâm tam giác \(A^{\prime} B D\) nên \(\dfrac{A^{\prime} G_1}{A^{\prime} O}=\dfrac{2}{3}\)

\(\Rightarrow G_1\) là trọng tâm tam giác \(A^{\prime} A C\), suy ra \(G_1=A I \cap A^{\prime} O\). (3)
Tương tự, \(G_2\) là trọng tâm tam giác \(B^{\prime} D^{\prime} C\) nên \(\dfrac{C G_2}{C O^{\prime}}=\dfrac{2}{3}\)
\(\Rightarrow G_2\) là trọng tâm tam giác \(A^{\prime} C^{\prime} C\), suy ra \(G_2=C^{\prime} I \cap C O^{\prime}\). (4)
Từ (3) và (4) suy ra \(G_1, G_2\) cùng thuộc \(A C^{\prime}\).
Lại có \(\dfrac{A G_1}{A I}=\dfrac{2}{3} \Rightarrow \dfrac{A G_1}{A C^{\prime}}=\dfrac{1}{3};
\dfrac{C^{\prime} G_2}{C^{\prime} I}=\dfrac{2}{3} \Rightarrow \dfrac{C^{\prime} G_2}{A C^{\prime}}=\dfrac{1}{3}\).
Do vậy \(A G_1 = G_1 G_2=G_2 C^{\prime}=\dfrac{1}{3} A C^{\prime}\).
Vậy \(G_1, G_2\) cùng thuộc \(A C^{\prime}\), đồng thời chia \(A C^{\prime}\) thành ba phần bằng nhau.

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.