Cho hình hộp \(A B C D \cdot A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}\), gọi \(G_1\), \(G_2\) là

Câu hỏi số 818576:

Vận dụng

Cho hình hộp \(A B C D \cdot A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}\), gọi \(G_1\), \(G_2\) là trọng tâm của các tam giác \(A^{\prime} B D, B^{\prime} D^{\prime} C\)
a) Chứng minh rằng: \(\left(A^{\prime} B D\right) / /\left(B^{\prime} D^{\prime} C\right)\).
b) Chứng minh rằng \(G_1, G_2\) cùng thuộc \(A C^{\prime}\) và chia \(A C^{\prime}\) thành ba đoạn bằng nhau.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:818576

Phương pháp giải

Dùng tính chất hình hộp (các mặt đối diện là hình bình hành) để suy các cặp đường thẳng song song.
Dùng tính chất trọng tâm (trọng tâm chia trung tuyến theo tỉ lệ \(2:1\)) để xác định vị trí \(G_1, G_2\) trên đoạn chéo \(A C^{\prime}\).

Giải chi tiết

a) \(A^{\prime} D^{\prime} C B\) là hình bình hành suy ra \(A^{\prime} B / / C D^{\prime} \Rightarrow A^{\prime} B / /\left(B^{\prime} D^{\prime} C\right)\). (1)
Tương tự, ta có: \(\left\{\begin{array}{l}A^{\prime} B^{\prime} / / C D \\ A^{\prime} B^{\prime}=C D\end{array} \Rightarrow A^{\prime} B^{\prime} C D\right.\) là hình bình hành.
Suy ra \(A^{\prime} D / / B^{\prime} C \Rightarrow A^{\prime} D / /\left(B^{\prime} D^{\prime} C\right)\).(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\left(A^{\prime} B D\right) / /\left(B^{\prime} D^{\prime} C\right)\).
b) Ta có \(G_1\) là trọng tâm tam giác \(A^{\prime} B D\) nên \(\dfrac{A^{\prime} G_1}{A^{\prime} O}=\dfrac{2}{3}\)

\(\Rightarrow G_1\) là trọng tâm tam giác \(A^{\prime} A C\), suy ra \(G_1=A I \cap A^{\prime} O\). (3)
Tương tự, \(G_2\) là trọng tâm tam giác \(B^{\prime} D^{\prime} C\) nên \(\dfrac{C G_2}{C O^{\prime}}=\dfrac{2}{3}\)
\(\Rightarrow G_2\) là trọng tâm tam giác \(A^{\prime} C^{\prime} C\), suy ra \(G_2=C^{\prime} I \cap C O^{\prime}\). (4)
Từ (3) và (4) suy ra \(G_1, G_2\) cùng thuộc \(A C^{\prime}\).
Lại có \(\dfrac{A G_1}{A I}=\dfrac{2}{3} \Rightarrow \dfrac{A G_1}{A C^{\prime}}=\dfrac{1}{3};
\dfrac{C^{\prime} G_2}{C^{\prime} I}=\dfrac{2}{3} \Rightarrow \dfrac{C^{\prime} G_2}{A C^{\prime}}=\dfrac{1}{3}\).
Do vậy \(A G_1 = G_1 G_2=G_2 C^{\prime}=\dfrac{1}{3} A C^{\prime}\).
Vậy \(G_1, G_2\) cùng thuộc \(A C^{\prime}\), đồng thời chia \(A C^{\prime}\) thành ba phần bằng nhau.

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.