Cho hình vuông \(C_1\) có cạnh bằng \(a\). Người ta chia mỗi cạnh của hình

Câu hỏi số 818577:

Vận dụng

Cho hình vuông \(C_1\) có cạnh bằng \(a\). Người ta chia mỗi cạnh của hình vuông thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông \(C_2\) (hình vẽ). Từ hình vuông \(C_2\) lại tiếp tục làm như trên ta nhận được dãy các hình vuông \(C_1, C_2, C_3, \ldots, C_n\). Gọi \(S_i\) là diện tích của hình vuông \(C_i(i \in\{1,2,3, \ldots, n\})\).

a) Tính cạnh của hình vuông \(C_2\).
b) Tính \(\lim _{n \rightarrow+\infty} \dfrac{2025}{a^2}\left(S_1+S_2+\ldots+S_n\right)\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:818577

Phương pháp giải

a) Dựa vào hình vẽ, xác định tọa độ đoạn chia trên cạnh hình vuông.

Áp dụng định lý Pythagoras để tính cạnh của hình vuông \(C_2\).

b) Tính tỉ số diện tích \(\dfrac{S_2}{S_1}\). Ta có dãy \(\left(S_i\right)\) là cấp số nhân.
Dùng công thức tổng cấp số nhân lùi vô hạn: \(S=\dfrac{u_1}{1-q}\) và tính giới hạn khi \(n \rightarrow \infty\).

Giải chi tiết

a) Cạnh của hình vuông \(C_1\) là \(a\). Suy ra \(S_1=a^2\).
Cạnh của hình vuông \(C_2\) là: \(\sqrt{\left(\dfrac{3 a}{4}\right)^2+\left(\dfrac{a}{4}\right)^2}=\dfrac{a \sqrt{10}}{4}\).
b) Suy ra \(S_2=\dfrac{10}{16} a^2=\dfrac{10}{16} S_1\).
Tương tự ta có \(S_3=\dfrac{10}{16} S_2 ; \ldots ; S_n=\dfrac{10}{6} S_{n-1}\).
Khi đó \(S_1+S_2+\ldots+S_n\)
\(=S_1\left[1+\left(\dfrac{10}{16}\right)+\left(\dfrac{10}{16}\right)^2+\left(\dfrac{10}{16}\right)^3+\ldots+\left(\dfrac{10}{16}\right)^{n-1}\right]\).
Suy ra \(\lim _{n \rightarrow+\infty} \dfrac{2025}{a^2}\left(S_1+S_2+\ldots+S_n\right)\)
\(=\dfrac{2025}{a^2} \cdot \dfrac{a^2}{1-\frac{10}{16}}=\dfrac{2025}{a^2} \cdot \dfrac{8}{3} \cdot a^2=5400\).

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.