Tính \(I = \lim \left( {\dfrac{1}{{{n^2}}} + \dfrac{3}{{{n^2}}} + \dfrac{5}{{{n^2}}} + ... + \dfrac{{2n +

Câu hỏi số 818866:

Vận dụng

Tính \(I = \lim \left( {\dfrac{1}{{{n^2}}} + \dfrac{3}{{{n^2}}} + \dfrac{5}{{{n^2}}} + ... + \dfrac{{2n + 1}}{{{n^2}}}} \right)\).

Đáp án:

Đáp án đúng là: 1

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:818866

Phương pháp giải

Các phân số có cùng mẫu số nên gộp mẫu lại.
Khi đó tử số là tổng của một cấp số cộng với: \(u_1=1 ; d=2 ; u_k=2 n+1\)
Công thức tính tổng của cấp số cộng: \(S=\dfrac{n \cdot\left(u_1+u_n\right)}{2}\).
Thay vào biểu thức giới hạn và tính toán: Khi \(n \rightarrow \infty, \lim \dfrac{1}{n}=0\) và \(\lim \dfrac{1}{n^2}=0\).

Giải chi tiết

Ta có:
\(I=\lim \left(\dfrac{1}{n^2}+\dfrac{3}{n^2}+\dfrac{5}{n^2}+\ldots+\dfrac{2 n+1}{n^2}\right)=\lim \dfrac{1+3+5+\ldots+(2 n+1)}{n^2}\)
Tử số là tổng của \(n+1\) số hạng của một cấp số cộng với số hạng đầu \(u_1=1\) và số hạng cuối \(u_n=2 n+1\).
Tổng của tử số là \(\dfrac{(n+1) \cdot(1+2 n+1)}{2}=(n+1)^2\).
Do đó ta có:
\(I=\lim \dfrac{(n+1)^2}{n^2}=\lim \dfrac{n^2+2 n+1}{n^2} \)
\(=\lim \left(1+\dfrac{2}{n}+\dfrac{1}{n^2}\right) = 1+0+0=1\).

Đáp án cần điền là: 1

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.