Cho bốn số nguyên dương, trong đó ba số đầu lập thành một cấp số cộng, ba số sau lập

Câu hỏi số 819096:

Vận dụng

Cho bốn số nguyên dương, trong đó ba số đầu lập thành một cấp số cộng, ba số sau lập thành một cấp số nhân. Biết rằng tổng của số hạng đầu và cuối là 11, tổng của hai số hạng giữa là 10. Tính tích các số đó.

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:819096

Phương pháp giải

Gọi bốn số phải tìm là $u_{1},u_{2},u_{3},u_{4}$

Ba số đầu lập thành cấp số cộng, giả sử là $u_{2} - d,u_{2},u_{2} + d$, với d là công sai

Ba số sau lập thành cấp số nhân, khi đó có dạng $u_{2},u_{2}q,u_{2}q^{2}$, với q là công bội, q $> 0$

Từ tổng của số hạng đầu và cuối là 11, tổng của hai số hạng giữa là 10 giải hệ phương trình tìm d và q từ đó tìm được $u_{1},u_{2},u_{3},u_{4}$.

Giải chi tiết

Gọi bốn số phải tìm là $u_{1},u_{2},u_{3},u_{4}$, ta có

Ba số đầu lập thành cấp số cộng, giả sử là $u_{2} - d,u_{2},u_{2} + d$, với d là công sai

Ba số sau lập thành cấp số nhân, khi đó có dạng $u_{2},u_{2}q,u_{2}q^{2}$, với q là công bội, q $> 0$

Theo giả thiết ta có $\left\{ \begin{array}{l} {2u_{2} + d = u_{2}\left( {1 + q} \right) = 10(1)} \\ {u_{2} - d + u_{2}q^{2} = 11(2)} \end{array} \right.$

Từ (1) suy ra $\left. u_{2} = \dfrac{10 - d}{2} = \dfrac{10}{1 + q}\Rightarrow d = 10 - \dfrac{20}{1 + q} \right.$ (3)

Từ (2) suy ra $u_{2} = \dfrac{11 + d}{1 + q^{2}}$, do dó $\dfrac{11 + d}{1 + q^{2}} = \dfrac{10}{1 + q}$ (4)

Thay $d$ ở (3) vào hệ thức (4) và rút gọn, ta được phương trình $10q^{2} - 21q + 9 = 0$.

Giải ra được $q = \dfrac{3}{2},q = \dfrac{3}{5}$.

Với $q = \dfrac{3}{5}$ không thoả mãn, vì các số $u_{1},u_{2},u_{3},u_{4}$ không nguyên.

Với $q = \dfrac{3}{2}$ thì $u_{2} = \dfrac{10}{1 + \dfrac{3}{2}} = 4,u_{3} = 4 \cdot \dfrac{3}{2} = 6,u_{4} = 6 \cdot \dfrac{3}{2} = 9$ và $u_{1} = 11 - u_{4} = 11 - 9 = 2$.

Suy ra bốn số cần tìm là $2,4,6,9$.

Vậy tích các số đó là 432.

Đáp án cần điền là: 432

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.