Tel: 024.7300.7989 - Phone: 1800.6947 (Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)

Thi thử toàn quốc cuối HK1 lớp 10, 11, 12 tất cả các môn - Trạm số 2 - Ngày 27-28/12/2025 Xem chi tiết
Giỏ hàng của tôi
Trang chủ
Toán11

Cho hàm số $y = f(x) = x^{3} + ax^{2} + bx + c$ ( $a,b,c$ là các số thực)

Câu hỏi số 819814:
Vận dụng

Cho hàm số $y = f(x) = x^{3} + ax^{2} + bx + c$ ( $a,b,c$ là các số thực)

Đúng Sai
a) Với $a = - 3;b = 0;c = 2$ thì phương trình $f(x) = 0$ có ít nhất một nghiệm trên khoảng (-2;0).
b) Với $a = - 3;b = 0;c = 2$ thì phương trình $f(x) = 0$ có ít nhất hai nghiệm trên khoảng $\left( {- 2;3} \right)$
c) Với các số thực $a,b,c$ thỏa mãn $\left\{ \begin{array}{l} {- 8 + 4a - 2b + c > 0} \\ {8 + 4a + 2b + c < 0} \end{array} \right.$. Số giao điểm của đồ thị hàm số $y = x^{3} + ax^{2} + bx + c$ và trục $Ox$ là 2 .
d) Với các số thực $a,b,c$ thỏa mãn $\left\{ \begin{array}{l} {a + c > b + 1} \\ {a + b + c + 1 < 0} \end{array} \right.$. Tìm số giao điểm của đồ thị hàm số $y = x^{3} + ax^{2} + bx + c$ và trục $Ox$ là 3 .

Đáp án đúng là: Đ; Đ; S; Đ

Quảng cáo

Xem lời giải
Câu hỏi:819814
Phương pháp giải

Sử dụng tính chất liên tục. Nếu $f(x)$ liên tục trên $\left\lbrack {a;b} \right\rbrack$ mà $f(a).f(b) < 0$ thì phương trình $f(x) = 0$ có ít nhất 1 nghiệm thuộc $\left( {a,b} \right)$.

Trường hợp muốn chứng minh phương trình có 2 nghiệm, 3 nghiệm thuộc (a,b) ta có thể chia nhỏ các đoạn (a;b) thành các đoạn (a,c); (c;d); (d;b) để chứng minh mỗi đoạn đều có ít nhất 1 nghiệm.

Giải chi tiết

a) Đúng. Ta có hàm số $f(x) = x^{3} - 3x^{2} + 2$ liên tục trên $\mathbb{R}$.

Suy ra hàm số liên trên tục $\left\lbrack {- 2;0} \right\rbrack$.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l} {f\left( {- 2} \right) = - 18} \\ {f(0) = 2} \end{array}\Rightarrow f(x) = 0 \right.$ có ít nhất một nghiệm thuộc $\left( {- 2;0} \right)$.

b) Đúng. Ta có hàm số $f(x) = x^{3} - 3x^{2} + 2$ liên tục trên $\mathbb{R}$.

Suy ra hàm số liên tục trên $\left\lbrack {- 2;3} \right\rbrack$.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l} {f\left( {- 2} \right) = - 18} \\ {f(0) = 2} \end{array}\Rightarrow f(x) = 0 \right.$ có ít nhất một nghiệm thuộc $\left( {- 2;0} \right)$.

$\left\{ \begin{array}{l} {f(0) = 2} \\ {f(2) = - 2} \end{array}\Rightarrow f(x) = 0 \right.$ có ít nhất một nghiệm thuộc $\left( {0;2} \right)$.

Do đó phương trình có ít nhất hai nghiệm thuộc khoảng $\left( {- 2;3} \right)$.

c) Sai. Đặt $f(x) = x^{3} + ax^{2} + bx + c$. Khi đó $\left\{ \begin{array}{l} {f(2) = 8 + 4a + 2b + c < 0} \\ {f\left( {- 2} \right) = - 8 + 4a - 2b + c > 0} \end{array} \right.$

$f(x)$ là hàm đa thức liên tục trên $\mathbb{R}$.

$\left\{ \begin{array}{l} {f(2) < 0} \\ {f\left( {- 2} \right) > 0} \end{array}\Rightarrow f\left( {- 2} \right) \cdot f(2) < 0\Rightarrow \right.$ đồ thị hàm số $y = f(x)$ cắt trục $Ox$ tại ít nhất một điểm thuộc $\left( {- 2;2} \right).$

$\left\{ \begin{array}{l} {f(2) < 0} \\ {\lim\limits_{x\rightarrow + \infty}f(x) = + \infty} \end{array}\Rightarrow \right.$ đồ thị hàm số $y = f(x)$ cắt trục $Ox$ tại ít nhất một điểm trong khoảng $\left( {2; + \infty} \right)$.

$\left\{ \begin{array}{l} {f\left( {- 2} \right) > 0} \\ {\lim\limits_{x\rightarrow - \infty}f(x) = - \infty} \end{array}\Rightarrow \right.$ đồ thị hàm số $y = f(x)$ cắt trục $Ox$ tại ít nhất một điểm trong khoảng $\left( {- \infty; - 2} \right)$.

Mà hàm số $f(x)$ là hàm bậc ba nên đồ thị của nó cắt trục $Ox$ tối đa tại 3 điểm.

Vậy đồ thị hàm số $y = f(x)$ cắt trục $Ox$ tại đúng 3 điểm.

d) Đúng. Vì hàm số đã cho là hàm đa thức bậc ba nên đồ thị hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ và số giao điểm của đồ thị hàm số với trục $Ox$ nhiều nhất là 3 .

Theo đề bài ta có $\lim\limits_{x\rightarrow - \infty}y = - \infty,\lim\limits_{x\rightarrow + \infty}y = + \infty$

$y\left( {- 1} \right) = a + c - b - 1 > 0,y(1) = a + b + c + 1 < 0$,

Do đó hàm số đã cho có ít nhất một nghiệm trên mỗi khoảng $\left( {- \infty; - 1} \right),\left( {- 1;1} \right),\left( {1; + \infty} \right)$.

Từ đó suy ra số giao điểm cần tìm là 3 .

Đáp án cần chọn là: Đ; Đ; S; Đ

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.

Hỗ trợ - Hướng dẫn

  • 024.7300.7989
  • 1800.6947 free

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com

Đăng ký nhận tư vấn