Cho phương trình $4x^{4} + 2x^{2} - x - 3 = 0$. Phương trình có đúng $m$ nghiệm trên khoảng $\left( {-

Câu hỏi số 820405:

Vận dụng

Cho phương trình $4x^{4} + 2x^{2} - x - 3 = 0$. Phương trình có đúng $m$ nghiệm trên khoảng $\left( {- 1;1} \right)$. Tìm $m$.

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:820405

Phương pháp giải

Sử dụng tính chất liên tục. Nếu $f(x)$ liên tục trên $\left\lbrack {a;b} \right\rbrack$ mà $f(a).f(b) < 0$ thì phương trình $f(x) = 0$ có ít nhất 1 nghiệm thuộc $\left( {a,b} \right)$.

Trường hợp muốn chứng minh phương trình có 2 nghiệm, 3 nghiệm thuộc (a,b) ta có thể chia nhỏ các đoạn (a;b) thành các đoạn (a,c); (c;d); (d;b) để chứng minh mỗi đoạn đều có ít nhất 1 nghiệm.

Giải chi tiết

Xét $f(x) = 4x^{4} + 2x^{2} - x - 3$ trên khoảng $\left\lbrack {- 1;1} \right\rbrack$.

Ta có $f(x)$ liên tục trên đoạn $\left\lbrack {- 1;1} \right\rbrack$.

$\left. f\left( {- 1} \right) = 4,f(0) = - 3,f(1) = 2\Rightarrow f\left( {- 1} \right).f(0) < 0;f(1).f(0) < 0 \right.$.

Như vậy phương trình $f(x) = 0$ có hai nghiệm trong khoảng $\left( {- 1;1} \right)$.

Mặt khác $f'(x) = 6x^{3} + 4x - 1$.

Ta có $f'\left( {- 1} \right) = - 11$, $\left. f'(1) = 9\Rightarrow f'\left( {- 1} \right) \cdot f'(1) < 0 \right.$.

Do đó phương trình $f'(x) = 0$ có nghiệm trong khoảng $\left( {- 1;1} \right)$.

$f^{''}(x) = 18x^{2} + 4 > 0$ với $\forall x \in \left( {- 1;1} \right)$ nên $f'(x)$ là hàm số đồng biến trên khoảng $\left( {- 1;1} \right)$

$\Rightarrow$ phương trình $f'(x) = 0$ có duy nhất nghiệm trên khoảng $\left( {- 1;1} \right)$.

Do đó $f(x) = 0$ có tối đa hai nghiệm trên khoảng $\left( {- 1;1} \right)$.

Vậy phương trình $4x^{4} + 2x^{2} - x - 3 = 0$ có đúng hai nghiệm trên khoảng $\left( {- 1;1} \right)$.

Đáp án cần điền là: 2

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.