Cho hình vuông $V_{1}$ có cạnh bằng 2. Người ta chia mỗi cạnh hình vuông thành bốn phần bằng

Câu hỏi số 821704:

Vận dụng

Cho hình vuông $V_{1}$ có cạnh bằng 2. Người ta chia mỗi cạnh hình vuông thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để tạo thành hình vuông $V_{2}$. Từ hình vuông $V_{2}$ lại làm tiếp tục như trên để có hình vuông $V_{3}$. Cứ tiếp tục quá trình như trên ta nhận được dãy các hình vuông $V_{1},V_{2},V_{3},\ldots.,V_{n},\ldots$ Gọi $u_{n}$ là chu vi của hình vuông của hình vuông $V_{n}$. Tính tổng chu vi của tất cả các hình vuông $V_{n}$ khi quá trình chia lặp lại vô hạn lần (làm tròn kết quả đến hàng phần chục).

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:821704

Phương pháp giải

Xác định độ dài cạnh của các hình vuông $V_{n}$.

Tính chu vi $u_{n}$ của mỗi hình vuông $V_{n}$.

Nhận diện dãy $u_{n}$ là cấp số nhân lùi vô hạn.

Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: $S = \dfrac{u_{1}}{1 - q}$, với $u_{1}$ là số hạng đầu và $q$ là công bội.

Giải chi tiết

Cạnh của $V_{1}$ là $a_{1} = 2$, chu vi của $V_{1}$ là $u_{1} = 4a_{1} = 4 \times 2 = 8$.

Độ dài cạnh $a_{2}$ của hình vuông $V_{2}$ là cạnh huyền của một tam giác vuông với các cạnh góc vuông là $\dfrac{1}{4}a_{1}$ và $\dfrac{3}{4}a_{1}$:

$a_{2}^{2} = \left( {\dfrac{1}{4}a_{1}} \right)^{2} + \left( {\dfrac{3}{4}a_{1}} \right)^{2} = \dfrac{5}{8}a_{1}^{2}$$\left. \Rightarrow a_{2} = \sqrt{\dfrac{5}{8}}a_{1} = \dfrac{\sqrt{10}}{4}a_{1} \right.$.

Với $a_{1} = 2$: $a_{2} = \dfrac{\sqrt{10}}{4}.2 = \dfrac{\sqrt{10}}{2}$.

Chu vi của $V_{2}$ là $u_{2} = 4a_{2} = 4.\dfrac{\sqrt{10}}{2} = 2\sqrt{10}$.

Tính cạnh và chu vi của $V_{n}$:

Tỉ lệ cạnh giữa hai hình vuông liên tiếp là $q_{a} = \dfrac{a_{n + 1}}{a_{n}} = \dfrac{\sqrt{10}}{4}$.

Vậy $a_{n}$ là một cấp số nhân với công bội $q_{a} = \dfrac{\sqrt{10}}{4}$.

Chu vi $u_{n} = 4a_{n}$.

Tỉ lệ chu vi giữa hai hình vuông liên tiếp là $q = \dfrac{u_{n + 1}}{u_{n}} = \dfrac{4a_{n + 1}}{4a_{n}} = \dfrac{a_{n + 1}}{a_{n}} = \dfrac{\sqrt{10}}{4}$.

Dãy $u_{n}$ là cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu $u_{1} = 8$ và công bội $q = \dfrac{\sqrt{10}}{4}$.

Vì $\left| q \middle| < 1 \right.$, nên tổng của cấp số nhân lùi vô hạn tồn tại.

Tổng chu vi $S = \dfrac{u_{1}}{1 - q} = \dfrac{8}{1 - \dfrac{\sqrt{10}}{4}} \approx 38,2.$

Đáp án cần điền là: 38,2

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.