Cho đường tròn $(O)$. Qua $A$ nằm ngoài đường tròn vẽ tiếp tuyến $AB;AC$ với đường tròn $(O)$

Câu hỏi số 827633:

Vận dụng

Cho đường tròn $(O)$. Qua $A$ nằm ngoài đường tròn vẽ tiếp tuyến $AB;AC$ với đường tròn $(O)$ ($B;C$ là các tiếp điểm); $OA$ cắt $BC$ tại $M$.

a) Chứng minh: OA vuông góc với BC tại M.

b) Giả sử $\text{OA} = 2\text{R}$. Tính số đo cung nhỏ BC.

c) Vẽ đường kính $BE$, gọi $F$ là giao điểm của $AE$ với đường tròn $(O)$. Chứng minh: $AM.AO = AE.AF$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:827633

Phương pháp giải

a) Chứng minh $AO$ là đường trung trực của $BC$.

Vậy $OA\bot BC$ tại M

b) Tính được $\angle AOB = 60^{0}$

Vì hai tiếp tuyến $AC,AB$ cắt nhau tại $A$ nên OA là tia phân giác của $\angle COB$ nên $\angle COB = 2.\angle AOB$

c) Chứng minh $\Delta ABM$~$\Delta AOB$ (g.g)

Khi đó $AB^{2} = AM.AO$

Chứng minh $\Delta ABF$~$\Delta AEB$ (g.g)

Khi đó $AB^{2} = AE.AF$

Vậy $AM.AO = AE.AF$

Giải chi tiết

a) Xét đường tròn $(O)$ có hai tiếp tuyến $AC,AB$ cắt nhau tại $A$

Suy ra $AB = AC$

Mà $OB = OC = R$

Suy ra $AO$ là đường trung trực của $BC$.

Vậy $OA\bot BC$ tại M

b) Xét tam giác AOB vuông tại B, theo định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn ta có $\cos\angle AOB = \dfrac{OB}{OA} = \dfrac{R}{2R} = \dfrac{1}{2}$

Suy ra $\angle AOB = 60^{0}$

Vì hai tiếp tuyến $AC,AB$ cắt nhau tại $A$ nên OA là tia phân giác của $\angle COB$ nên $\angle COB = 2.\angle AOB = 2.60^{0} = 120^{0}$

Suy ra số đo cung $BC$ nhỏ là $120^{0}$.

c) Xét $\Delta ABM$ và $\Delta AOB$ có:

$\angle BAO$ chung

$\angle AMB = \angle ABO = 90^{0}$

Suy ra $\Delta ABM$~$\Delta AOB$ (g.g)

Khi đó $\dfrac{AB}{AO} = \dfrac{AM}{AB}$ hay $AB^{2} = AM.AO$

Xét tam giác BFE có FO là đường trung tuyến và $FO = \dfrac{1}{2}BE$.

Suy ta tam giác BFE vuông tại F.

Xét $\Delta ABF$ và $\Delta AEB$ có:

$\angle BAE$ chung

$\angle AFB = \angle ABE = 90^{0}$

Suy ra $\Delta ABF$~$\Delta AEB$ (g.g)

Khi đó $\dfrac{AB}{AE} = \dfrac{AF}{AB}$ hay $AB^{2} = AE.AF$

Vậy $AM.AO = AE.AF$

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link