Cho biết bốn đoạn thẳng nối từ một đỉnh của tứ diện đến trọng tâm mặt đối diện
Cho biết bốn đoạn thẳng nối từ một đỉnh của tứ diện đến trọng tâm mặt đối diện luôn cắt nhau tại một điểm gọi là trọng tâm của tứ diện đó. Một phân tử metan $CH_{4}$ được cấu tạo bởi bốn nguyên tử hydrogen ở các đỉnh của một tứ diện đều và một nguyên tử carbon ở trọng tâm của tứ diện. Góc liên kết là góc tạo bởi liên kết $H - C - H$ là góc giữa các đường nối nguyên tử carbon với hai trong số các nguyên tử hydrogen. Độ lớn góc liên kết này là _______ (làm tròn đến hàng phần mười đơn vị đo là độ).
Đáp án đúng là: 109,5
Quảng cáo
Đưa bài toán về hình học không gian với hình tứ diện SABC, đường cao SH, trọng tâm G
Khi đó gắn hệ toạ độ Oxyz và tính góc bằng công thức $\cos\left( {\overset{\rightarrow}{a},\overset{\rightarrow}{b}} \right) = \dfrac{\overset{\rightarrow}{a}.\overset{\rightarrow}{b}}{\left| \overset{\rightarrow}{a} \right|.\left| \overset{\rightarrow}{b} \right|}$
Từ hình vẽ ta thấy góc liên kết là góc $(\overset{\rightarrow}{GA},\overset{\rightarrow}{GS})$
Ta có: $\left. AE\bot BC,SH\bot(ABC)\Rightarrow\left\{ \begin{array}{l} {SH\bot AE} \\ {SH\bot BC} \end{array} \right. \right.$ nên ta có hệ trục tọa độ như hình với với $E$ trùng với gốc tọa độ $O$
Giả sử các cạnh của tứ diện có độ dài là $a$
Ta có: $\left. SE = AE = \sqrt{AB^{2} - BE^{2}} = \sqrt{a^{2} - \left( \dfrac{a}{2} \right)^{2}} = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow A\left( {\dfrac{a\sqrt{3}}{2};0;0} \right) \right.$
$\begin{array}{l} \left. HE = \dfrac{AE}{3} = \dfrac{a\sqrt{3}}{6}\Rightarrow H\left( {\dfrac{a\sqrt{3}}{6};0;0} \right) \right. \\ \left. SH = \sqrt{SE^{2} - HE^{2}} = \sqrt{\left( \dfrac{a\sqrt{3}}{2} \right)^{2} - \left( \dfrac{a\sqrt{3}}{6} \right)^{2}} = \dfrac{a\sqrt{6}}{3}\Rightarrow S\left( {\dfrac{a\sqrt{3}}{6};0;\dfrac{a\sqrt{6}}{3}} \right) \right. \end{array}$
Lại có: $\left. \dfrac{FE}{SE} = \dfrac{HE}{AE} = \dfrac{1}{3}\Rightarrow FH//SA \right.$ và $AF$ cắt $SH$ tại $G$ nên $\dfrac{GH}{GS} = \dfrac{GF}{GE} = \dfrac{FH}{SA} = \dfrac{HE}{AE} = \dfrac{1}{3}$
$\left. \Rightarrow GH = \dfrac{1}{4}SH = \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{a\sqrt{6}}{3} = \dfrac{a\sqrt{6}}{12}\Rightarrow G\left( {\dfrac{a\sqrt{3}}{6};0;\dfrac{a\sqrt{6}}{12}} \right) \right.$
Do đó: $\left. \overset{\rightarrow}{GA} = \left( {\dfrac{a\sqrt{3}}{3};0; - \dfrac{a\sqrt{6}}{12}} \right)\Rightarrow GA = \dfrac{a\sqrt{6}}{4} \right.$
$\left. \overset{\rightarrow}{GS} = \left( {0;0;\dfrac{a\sqrt{6}}{4}} \right)\Rightarrow GS = \dfrac{a\sqrt{6}}{4} \right.$
Ta có: $\left. \cos(\overset{\rightarrow}{GA},\overset{\rightarrow}{GS}) = \dfrac{- \dfrac{a\sqrt{6}}{12} \cdot \dfrac{a\sqrt{6}}{4}}{\dfrac{a\sqrt{6}}{4} \cdot \dfrac{a\sqrt{6}}{4}} = - \dfrac{1}{3}\Rightarrow(\overset{\rightarrow}{GA},\overset{\rightarrow}{GS}) \approx 109,5^{{^\circ}} \right.$
Đáp án cần điền là: 109,5
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
