Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên tập $R$, biết $f'(x) = x^{2024}{(x - 2)}^{2025}\left( {x^{2} - 8x +

Câu hỏi số 828625:

Vận dụng

Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên tập $R$, biết $f'(x) = x^{2024}{(x - 2)}^{2025}\left( {x^{2} - 8x + m^{2} - 3m - 4} \right),\quad\forall x \in R$. Gọi $\mathbf{S}$ là tập tất cả các giá trị nguyên dương của tham số $m$ để đồ thị hàm số $\left. y = f( \middle| x \middle| ) \right.$ có 5 điểm cực trị. Tổng tất cả các giá trị của các phần tử của tập hợp $S$là ______ .

Đáp án:

Đáp án đúng là: A.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:828625

Phương pháp giải

Để đồ thị hàm số $\left. y = g(x) = f( \middle| x \middle| ) \right.$ có 5 điểm cực trị thì đồ thị hàm số $y = f(x)$ có hai điểm cực trị có hoành độ dương.

Suy ra $x^{2} - 8x + m^{2} - 3m - 4 = 0$ có hai nghiệm phân biệt, có một nghiệm dương $x \neq 2$, có một nghiệm $x \leq 0$. Từ đó tìm điều kiện m.

Giải chi tiết

$f'(x) = x^{2024}{(x - 2)}^{2025}\left( {x^{2} - 8x + m^{2} - 3m - 4} \right) = x^{2024}{(x - 2)}^{2024}(x - 2)\left( {x^{2} - 8x + m^{2} - 3m - 4} \right)\text{.}$

Để đồ thị hàm số $\left. y = g(x) = f( \middle| x \middle| ) \right.$ có 5 điểm cực trị thì đồ thị hàm số $y = f(x)$ có hai điểm cực trị có hoành độ dương. (Nghĩa là hàm số $y = f(x)$ có hai điểm cực trị dương)

Ta có $\left. f'(x) = 0\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {x = 0} \\ {x = 2} \\ {x^{2} - 8x + m^{2} - 3m - 4 = 0\,(1)} \end{array} \right. \right.$

Có $x = 0$ là nghiệm bội chẵn, $x = 2$ là nghiệm bội lẻ.

Vậy $x^{2} - 8x + m^{2} - 3m - 4 = 0\,\,\,(1)$ có hai nghiệm phân biệt, có một nghiệm dương $x \neq 2$, có một nghiệm $x \leq 0$

Trường hợp 1: Có nghiệm $x = 0$ khi đó $\left. m^{2} - 3m - 4 = 0\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {m = - 1} \\ {m = 4} \end{array} \right. \right.$

Với $m = - 1,m = 4$ ta được $\left. x^{2} - 8x = 0\Leftrightarrow\left\lbrack {\begin{array}{l} {x = 0} \\ {x = 8} \end{array}\,\,(tm)} \right. \right.$

Trường hợp 2: $x^{2} - 8x + m^{2} - 3m - 4 = 0\,\,(1)$ có hai nghiệm phân biệt, có một nghiệm dương $x \neq 2$, có một nghiệm âm điều kiện tương đương

$\left\{ \begin{matrix} \begin{array}{l} {m^{2} - 3m - 4 < 0} \\ {2^{2} - 8.2 + m^{2} - 3m - 4 \neq 0} \end{array} \end{matrix}\Leftrightarrow\left\{ \begin{matrix} \begin{array}{l} {- 1 < m < 4} \\ {m^{2} - 3m - 16 \neq 0} \end{array} \end{matrix}\Leftrightarrow\left\{ \begin{matrix} \begin{array}{l} {- 1 < m < 4} \\ {m \neq \dfrac{3 \pm \sqrt{73}}{2}} \end{array} \end{matrix}\Leftrightarrow - 1 < m < 4. \right. \right. \right.$$$

Vì $\left. m \in {\mathbb{Z}}\Rightarrow m = 0,m = 1,m = 2,m = 3 \right.$.

Tập hợp các giá trị nguyên dương của tham số $m$ thỏa mãn là $S = \left\{ {1;2;3;4} \right\}$.

Suy ra tổng các giá trị của tham số $m$ thỏa mãn là $T = 4 + 3 + 2 + 1 = 10.$

Đáp án cần điền là: A.

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.