Một công ty mỹ phẩm sản xuất mẫu sản phẩm mới dạng một khối cầu và bên

Câu hỏi số 829096:

Vận dụng

Một công ty mỹ phẩm sản xuất mẫu sản phẩm mới dạng một khối cầu và bên trong là một khối trụ đựng kem dưỡng (như hình vẽ).

a) Theo dự kiến công ty sản xuất khối cầu với bán kính $R = 2\sqrt{6}$(cm). Tính thể tích khối cầu này.

b) Tìm thể tích lớn nhất của khối trụ đựng kem để thể tích thực ghi trên bìa hộp là lớn nhất.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:829096

Phương pháp giải

a) Thể tích của khối cầu là: $V = \dfrac{4}{3}\pi R^{3}$

b) Kí hiệu: $r$ là bán kính mặt đáy của khối trụ, $h$ là chiều cao của khối trụ.

Theo định lí Pythagore, ta có: $r^{2} + h^{2} = R^{2}$ hay $r^{2} = R^{2} - h^{2}$

Thể tích của khối trụ là: $V = \pi.(24 - h^{2}).h$

Để thể tích khối trụ đạt GTLN thì $(24 - h^{2}).h$ đạt GTLN

Giải chi tiết

a) Thể tích của khối cầu là:

$V = \dfrac{4}{3}\pi R^{3} = \dfrac{4}{3}\pi.{(2\sqrt{6})}^{3} = 492,2\,\,(cm^{3})$

b) Kí hiệu: $r$ là bán kính mặt đáy của khối trụ, $h$ là chiều cao của khối trụ.

Theo định lí Pythagore, ta có: $r^{2} + h^{2} = R^{2}$ hay $r^{2} = R^{2} - h^{2}$

Thể tích của khối trụ là: $V = \pi.(24 - h^{2}).h$

Để thể tích khối trụ đạt GTLN thì $(24 - h^{2}).h$ đạt GTLN

Ta có: $(24 - h^{2}).h = \sqrt{\dfrac{1}{2}(24 - h^{2})(24 - h^{2}).2h^{2}}$

Theo BĐT Cauchy, ta có:

$\begin{array}{l} {\sqrt{\dfrac{1}{2}(24 - h^{2})(24 - h^{2}).2h^{2}} \leq \sqrt{\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{27}{(24 - h^{2} + 24 - h^{2} + 2h^{2})}^{3}}} \\ {\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \sqrt{\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{27}.48^{3}} = 32\sqrt{2}} \end{array}$

Biểu thức $(24 - h^{2}).h$ đạt GTLN là $32\sqrt{2}$ khi $24 - h^{2} = 2h^{2}$ hay $h = 2\sqrt{2}$

Suy ra thể tích khối trụ lớn nhất là $32\sqrt{2}\pi \approx 142,1\,\,(cm^{3})$

Vậy để thể tích thực ghi trên bìa hộp là lớn nhất thì thể tích lớn nhất của khối trụ đựng kem dưỡng là $32\sqrt{2}\pi \approx 142,1\,\,(cm^{3})$

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link