Cho đường tròn (O) có đường kính AB. Gọi M là một điểm
Cho đường tròn (O) có đường kính AB. Gọi M là một điểm thuộc đường tròn (M khác A và B). Tiếp tuyến đi qua M cắt tiếp tuyến đi qua B tại điểm K.
a) Chứng minh tứ giác OMKB nội tiếp
b) Chứng minh $OK\bot MB$.
c) Kẻ một đường thẳng đi qua K cắt đường tròn (O) tại E và F (E nằm giữa K và F), OK cắt BM tại H. Chứng minh $\angle EMK = \angle MFE$ và $\angle OFE = \angle EHK$.
Quảng cáo
a) Chứng minh $IM = IO = IK = IB = \dfrac{1}{2}OK$
(t/c đường trung tuyến trong tam giác vuông)
Suy ra các điểm M, O, K, B đều nằm trên đường tròn (I)
Vậy tứ giác MOBK là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh KO đồng thời là đường cao trong tam giác MKB.
Vậy $OK\bot MB$
c) Chứng minh $\angle MOP = \angle EMK = \dfrac{1}{2}\angle MOE$ (1)
Và $\angle MFE = \dfrac{1}{2}\angle MOE$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra $\angle EMK = \angle MFE$ (đpcm)
Chứng minh $\Delta OFK$~$\Delta EHK$ (c.g.c)
Vậy $\angle OFE = \angle EHK$ (2 góc tương ứng) (đpcm)
a) Ta có MK, BK là các tiếp tuyến của (O).
Suy ra $\angle OMK = \angle OBK = 90^{0}$ (t/c tiếp tuyến)
Suy ra tam giác MKO vuông tại M, tam giác OBK vuông tại B.
Dựng đường trung tuyến MI, BI lần lượt trong $\Delta MKO,\,\,\Delta OBK$
với I là trung điểm của OK.
Suy ra $IM = IO = IK = IB = \dfrac{1}{2}OK$
(t/c đường trung tuyến trong tam giác vuông)
Suy ra các điểm M, O, K, B đều nằm trên đường tròn (I)
Vậy tứ giác MOBK là tứ giác nội tiếp.
b) Ta có MK, BK là các tiếp tuyến của (O) cắt nhau tại K.
Suy ra KM = KB (t/c hai tiếp tuyến cắt nhau)
Mà KO là phân giác của $\angle MKB$
Suy ra KO đồng thời là đường cao trong tam giác MKB.
Vậy $OK\bot MB$
c) *) Chứng minh $\angle EMK = \angle MFE$
Ta có OM = OE nên $\Delta OME$ cân tại O
Dựng đường cao OP của $\Delta OME$
Suy ra $\Delta OPM$ vuông tại P
$\left. \Rightarrow\angle PMO + \angle MOP = 90^{0} \right.$
Mà $\angle PMO + \angle EMK = 90^{0}$ (MK là tiếp tuyến của đường tròn (O))
Suy ra $\angle MOP = \angle EMK$
Mặt khác OP là đường cao đồng thời là đường phân giác trong $\Delta OME$
Ta có: $\angle MOP = \angle EMK = \dfrac{1}{2}\angle MOE$ (1)
Ta thấy $\angle MFE$ và $\angle MOE$ lần lượt là góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung ME.
Suy ra $\angle MFE = \dfrac{1}{2}\angle MOE$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra $\angle EMK = \angle MFE$ (đpcm)
*) Chứng minh $\angle OFE = \angle EHK$
Xét $\Delta OMK$ và $\Delta MHK$ có:
$\angle OMK = \angle MHK = 90^{0}$
$\angle MKO$ chung
Suy ra $\Delta OMK$~$\Delta MHK$ (g.g)
Suy ra $\dfrac{OK}{MK} = \dfrac{MK}{HK}$ hay $MK^{2} = OK.HK$ (1)
Xét $\Delta MEK$ và $\Delta FMK$ có:
$\angle EMK = \angle MFE$ (cmt)
$\angle EKM$ chung
Suy ra $\Delta MEK$~$\Delta FMK$ (g.g)
Suy ra $\dfrac{EK}{MK} = \dfrac{MK}{FK}$ hay $MK^{2} = EK.FK$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra $OK.HK = EK.FK$ hay $\dfrac{KF}{HK} = \dfrac{OK}{EK}$
Xét $\Delta OFK$ và $\Delta EHK$ có:
$\dfrac{KF}{HK} = \dfrac{OK}{EK}$ (cmt)
$\angle OKF$ chung
Suy ra $\Delta OFK$~$\Delta EHK$ (c.g.c)
Vậy $\angle OFE = \angle EHK$ (2 góc tương ứng) (đpcm)
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
