Biết rằng $m > \dfrac{a}{b}$, $\left( {a,b} \right) = 1$ thì phương trình: $\sqrt{2x^{2} + mx + 5} - x = 3$

Câu hỏi số 834146:

Vận dụng

Biết rằng $m > \dfrac{a}{b}$, $\left( {a,b} \right) = 1$ thì phương trình: $\sqrt{2x^{2} + mx + 5} - x = 3$ có đúng một nghiệm. Tính $a - b.$

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:834146

Phương pháp giải

Đưa phương trình về dạng $\sqrt{A} = B$, rồi bình phương hai vế và đặt điều kiện $B \geq 0$.

Phương trình bậc hai có tích $a \cdot c < 0$, nên luôn có hai nghiệm phân biệt $x_{1},x_{2}.$

Xét điều kiện nghiệm: Giả sử $x_{2} > 0$ thì $x_{2}$ luôn thỏa mãn $x_{2} \geq - 3$. Do đó, $x_{2}$ luôn là một nghiệm của phương trình ban đầu. Để phương trình ban đầu có đúng một nghiệm, nghiệm $x_{1}$ phải không thỏa mãn điều kiện $x \geq - 3$.

Giải bất phương trình chứa căn để tìm m.

Giải chi tiết

Ta có $\sqrt{2x^{2} + mx + 5} - x = 3$ (1) $\left. \Leftrightarrow\sqrt{2x^{2} + mx + 5} = x + 3 \right.$

$\left. \Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {x \geq - 3} \\ {2x^{2} + mx + 5 = {(x + 3)}^{2}} \end{array}\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {x \geq - 3} \\ {x^{2} + (m - 6)x - 4 = 0} \end{array} \right. \right. \right.$

Vì phương trình (2) có $a.c = - 4 < 0$ nên luôn có hai nghiệm $x_{1} < 0 < x_{2}$.

Vì $x_{2} \geq - 3$ nên $x_{2}$ là một nghiệm của (1).

Do đó để (1) có nghiệm duy nhất thì

$\left. x_{1} < - 3\Leftrightarrow\dfrac{- m + 6 - \sqrt{\Delta}}{2} < - 3\Leftrightarrow\sqrt{\Delta} > 12 - m \right.$

$\left. \Leftrightarrow\sqrt{m^{2} - 12m + 52} > 12 - m \right.$

$\left. \Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {12 - m < 0} \\ \left\{ \begin{array}{l} {12 - m \geq 0} \\ {m^{2} - 12m + 52 > {(12 - m)}^{2}} \end{array}\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {m > 12} \\ \left\lbrack \begin{array}{l} {m \leq 12} \\ {m > \dfrac{23}{3}} \end{array} \right. \end{array}\Leftrightarrow m > \dfrac{23}{3}. \right. \right. \end{array} \right. \right.$

Vậy $a - b = 23 - 3 = 20$.

Đáp án cần điền là: 20

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10