Biết rằng $m > \dfrac{a}{b}$, $\left( {a,b} \right) = 1$ thì phương trình: $\sqrt{2x^{2} + mx + 5} - x = 3$

Câu hỏi số 834146:

Vận dụng

Biết rằng $m > \dfrac{a}{b}$, $\left( {a,b} \right) = 1$ thì phương trình: $\sqrt{2x^{2} + mx + 5} - x = 3$ có đúng một nghiệm. Tính $a - b.$

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:834146

Phương pháp giải

Đưa phương trình về dạng $\sqrt{A} = B$, rồi bình phương hai vế và đặt điều kiện $B \geq 0$.

Phương trình bậc hai có tích $a \cdot c < 0$, nên luôn có hai nghiệm phân biệt $x_{1},x_{2}.$

Xét điều kiện nghiệm: Giả sử $x_{2} > 0$ thì $x_{2}$ luôn thỏa mãn $x_{2} \geq - 3$. Do đó, $x_{2}$ luôn là một nghiệm của phương trình ban đầu. Để phương trình ban đầu có đúng một nghiệm, nghiệm $x_{1}$ phải không thỏa mãn điều kiện $x \geq - 3$.

Giải bất phương trình chứa căn để tìm m.

Giải chi tiết

Ta có $\sqrt{2x^{2} + mx + 5} - x = 3$ (1) $\left. \Leftrightarrow\sqrt{2x^{2} + mx + 5} = x + 3 \right.$

$\left. \Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {x \geq - 3} \\ {2x^{2} + mx + 5 = {(x + 3)}^{2}} \end{array}\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {x \geq - 3} \\ {x^{2} + (m - 6)x - 4 = 0} \end{array} \right. \right. \right.$

Vì phương trình (2) có $a.c = - 4 < 0$ nên luôn có hai nghiệm $x_{1} < 0 < x_{2}$.

Vì $x_{2} \geq - 3$ nên $x_{2}$ là một nghiệm của (1).

Do đó để (1) có nghiệm duy nhất thì

$\left. x_{1} < - 3\Leftrightarrow\dfrac{- m + 6 - \sqrt{\Delta}}{2} < - 3\Leftrightarrow\sqrt{\Delta} > 12 - m \right.$

$\left. \Leftrightarrow\sqrt{m^{2} - 12m + 52} > 12 - m \right.$

$\left. \Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {12 - m < 0} \\ \left\{ \begin{array}{l} {12 - m \geq 0} \\ {m^{2} - 12m + 52 > {(12 - m)}^{2}} \end{array}\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {m > 12} \\ \left\lbrack \begin{array}{l} {m \leq 12} \\ {m > \dfrac{23}{3}} \end{array} \right. \end{array}\Leftrightarrow m > \dfrac{23}{3}. \right. \right. \end{array} \right. \right.$

Vậy $a - b = 23 - 3 = 20$.

Đáp án cần điền là: 20

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.