Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right)\) vuông góc với mặt phẳng

Câu hỏi số 836384:

Vận dụng

Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right)\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( Q \right):2x + y - z = 0\) và cắt các trục \(Ox,Oy,Oz\) lần lượt tại \(A\left( {2;0;0} \right);\,B\left( {0;b;0} \right);\,C\left( {0;0;c} \right)\) với \(b > 0,\,c > 0\) sao cho thể tích khối tứ diện \(OABC\) bằng \(3\). Giá trị của \(b - c\) bằng:

Đáp án:

Đáp án đúng là: 9

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:836384

Phương pháp giải

Phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm \(A\left( {2;0;0} \right);\,B\left( {0;b;0} \right);\,C\left( {0;0;c} \right)\) có dạng \(\left( P \right):\dfrac{x}{2} + \dfrac{y}{b} + \dfrac{z}{c} = 1\)

Do \(\left( P \right) \bot \left( Q \right) \Rightarrow {\overrightarrow n _{\left( P \right)}} \bot {\overrightarrow n _{\left( Q \right)}}\)

Từ đó tìm mối liên hệ giữa \(b\) và \(c\).

Giải chi tiết

Phương trình mặt phẳng (P) là: \(\left( P \right):\dfrac{x}{2} + \dfrac{y}{b} + \dfrac{z}{c} = 1\).

\( \Rightarrow \left( P \right)\) có 1 VTPT là \(\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = \left( {\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{b};\dfrac{1}{c}} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( Q \right):\,\,2x + y - z = 0\) có 1 VTPT là \(\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} = \left( {2;1; - 1} \right)\).

Vì \(\left( P \right) \bot \left( Q \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} \bot \overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} \)\( \Rightarrow \overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} .\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} = 0 \Leftrightarrow 1 + \dfrac{1}{b} - \dfrac{1}{c} = 0\) (1)

Thể tích tứ diện \(OABC\) là \(V = \dfrac{1}{6}.OA.OB.OC = \dfrac{1}{6}.2.b.c = 3 \Leftrightarrow bc = 9\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\dfrac{{c - b}}{9} = - 1 \Leftrightarrow c - b = - 9 \Leftrightarrow b - c = 9\).

Đáp án cần điền là: 9

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.