Bán kính Trái Đất lấy bằng 6400 km, khi gắn hệ trục toạ độ $Oxyz$ thì

Câu hỏi số 836898:

Vận dụng

Bán kính Trái Đất lấy bằng 6400 km, khi gắn hệ trục toạ độ $Oxyz$ thì bề mặt Trái Đất là mặt cầu có phương trình $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 64$, đường xích đạo nằm trên mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$. Một tàu vũ trụ X rời khỏi bề mặt Trái Đất theo phương tiếp tuyến với đường tròn vĩ tuyến tại điểm $A\left( {5;\sqrt{23};4} \right)$, với giả thiết rằng sau khi rời khỏi bề mặt Trái Đất tàu vũ trụ $X$ bay theo quỹ đạo thẳng với tốc độ không đổi bằng $8\text{km}/\text{s}$. Hỏi sau đúng 20 phút kể từ khi rời khỏi bề mặt Trái Đất thì khoảng cách từ tàu vũ trụ đến một điểm trên đường tròn xích đạo ngắn nhất bằng bao nhiêu kilomet (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:836898

Phương pháp giải

Giả sử sau 20 phút tàu vũ trụ X bay đến điểm B.

Viết phương trình đường thẳng AB. Từ AB = 12 tìm toạ độ B

Gọi B’ là hình chiếu của B xuống (Oxy). Gọi M là giao điểm của OB’ với mặt cầu.

Khi đó khoảng cách ngắn nhất cần tìm là độ dài BM

Giải chi tiết

Tâm mặt cầu là $O\left( {0;0;0} \right)$, bán kính là 8 nên mỗi đơn vị toạ độ tương ứng với 800km

$\left. \Rightarrow\overset{\rightarrow}{OA}\left( {5;\sqrt{23};4} \right) \right.$

Đường tròn xích đạo nằm trong (Oxy), nên vĩ tuyến tại A là giao mặt cầu với mặt phẳng $z = 4$

Khi đó $\overset{\rightarrow}{n} = \left( {0,0,1} \right)$

Giả sử sau 20 phút tàu vũ trụ X bay đến điểm B.

Quỹ đạo chuyển động AB có VTCP là $\left\lbrack {\overset{\rightarrow}{OA};\overset{\rightarrow}{n}} \right\rbrack = \left( {\sqrt{23}; - 5;0} \right)$

Phương trình chuyển động AB là $\left\{ \begin{array}{l} {x = 5 + \sqrt{23}t} \\ {y = \sqrt{23} - 5t} \\ {z = 4} \end{array} \right.$

Gọi $B\left( {5 + \sqrt{23}t;\sqrt{23} - 5t;4} \right)$

Quãng đường mà tàu đi trong 20 phút = 1200 giây là $1200.8 = 9600$ km ứng với 12 đơn vị toạ độ

Khi đó $AB = 12$

$\begin{array}{l} \left. \Leftrightarrow\sqrt{\left( {5 + \sqrt{23}t - 5} \right)^{2} + \left( {\sqrt{23} - 5t - \sqrt{23}} \right)^{2} + \left( {4 - 4} \right)^{2}} = 12 \right. \\ \left. \Leftrightarrow 4\sqrt{3}t = 12 \right. \\ \left. \Leftrightarrow t = \sqrt{3} \right. \end{array}$

Khi đó $B\left( {5 + \sqrt{69};\sqrt{23} - 5\sqrt{3};4} \right)$

Gọi B’ là hình chiếu của B xuống (Oxy) khi đó $B'\left( {5 + \sqrt{69};\sqrt{23} - 5\sqrt{3};0} \right)$

$\left. \Rightarrow B'M = OB' - OM = \sqrt{\left( {5 + \sqrt{69}} \right)^{2} + \left( {\sqrt{23} - 5\sqrt{3}} \right)^{2}} - 8 = 8\sqrt{3} - 8 \right.$

$\left. \Rightarrow BM = \sqrt{B{B'}^{2} + B'M^{2}} = 7,092 \right.$

Vậy khoảng cách ngắn nhất là $7,092.800 \approx 5674$ km

Đáp án cần điền là: 5674

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.