Cho $A = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \ldots + \dfrac{1}{100}$. Chứng minh rằng $A$ không là số

Câu hỏi số 837558:

Vận dụng cao

Cho $A = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \ldots + \dfrac{1}{100}$. Chứng minh rằng $A$ không là số tự nhiên

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:837558

Phương pháp giải

Ta chọn mẫu chung là tích của $2^{6}$ với các thừa số lẻ nhỏ hơn 100

Gọi $k_{1},\,\, k_{2},\ldots,k_{100}$ là các thừa số phụ tương ứng của các phân số $1,\,\,\dfrac{1}{2},\,\,\ldots,\dfrac{1}{100}$, tổng $A$ có dạng $B = \dfrac{k_{1} + k_{2} + \ldots + k_{100}}{2^{6}.3.5.7.9.\ldots.99}$

Chứng minh tử số không chia hết cho 2

Giải chi tiết

Nhận xét $2^{6}.3.5.7.9.\ldots.99$ chia hết cho 1;2;3;…;100

Ta quy đồng các phân số $\dfrac{1}{1};\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{3};...;\dfrac{1}{100}$ với mẫu số chung là $2^{6}.3.5.7.9.\ldots.99$

Khi đó $A = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \ldots + \dfrac{1}{100} = \dfrac{k_{1} + k_{2} + \ldots + k_{100}}{2^{6}.3.5.7.9.\ldots.99}$ trong đó

$k_{1} = 2^{6}.3.5.7.9.\ldots.99$

$\begin{array}{l} {k_{2} = 2^{5}.3.5.7.9.\ldots.99} \\ {k_{3} = 2^{6}.5.7.9.\ldots.99} \\ ... \\ {k_{64} = 5.7.9.\ldots.99} \\ ... \end{array}$

$k_{100} = 2^{4}.3.5.7..\ldots.99$ (trong đó các số lẻ từ 3 đến 99 không chứa số 25)

Vậy trong các số $k_{1};k_{2};...;k_{100}$ chỉ có duy nhất $k_{64}$ không chia hết cho 2 còn lại đều chia hết cho 2

Suy ra tổng $k_{1} + k_{2} + ... + k_{100}$ không chia hết cho 2.

Khi đó phân số A có mẫu chia hết cho 2, tử không chia hết cho 2 nên A không thể là số tự nhiên.

Vậy $A$ không phải là số tự nhiên

Tham Gia Group Dành Cho 2K13 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 6 chương trình mới trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 6 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link